Sólido rígido: determinación, traslación, rotación, momento de inercia, radio de giro, teorema de Steiner, momento angular, energía cinética, rototraslación y giro sin rodamiento.

Entendemos por sólido rígido  el sistema de puntos materiales tal que las distancias mutuas entre dos cualesquiera de sus puntos permanecen invariables en el movimiento.  Si “ri” y “rj” son los vectores de posición de “Pi” y “Pj”, la condición de rigidez es:

  • (ri – rj)^2 = cte.

Determinación:

Para caracterizar la posición de un sólido rígido basta con fijar las posiciones de tres puntos del mismo que no están alineados. Si se especifica solo la posición de uno de ellos, el cuerpo podrá girar libremente alrededor de él, y no estará, por tanto, establecida su orientación. Asimismo, si se especifican dos puntos, el cuerpo podrá seguir girando alrededor de la recta definida por ellos.

solido-rigidoSin  embargo, si se especifica también un tercer punto no alineado con los dos anteriores queda determinada la posición y la orientación del sólido, y en consecuencia la de todas sus partículas. Según esto, se necesitan nueve coordenadas para determinar el sólido. Sin embargo, éstas no son independientes entre si, sino que están relacionadas por la constante distancia entre ellas.

Teniendo esto en cuenta, solo se precisan seis números para especificar la posición y orientación de un sólido rígido, poseyendo éste seis grados de libertad. Además, no tienen por qué ser los seis datos las coordenadas. Suelen ser las tres coordenadas de uno de los puntos y tres ángulos que son los que generan en cada instante un triedro ortonormal ligado al sólido y localizado en dicho punto con los ejes del sistema de referencia a través de los cuales se determina la posición de dicho punto.

Movimiento de Traslación:

Se dice que un sólido se traslada cuando la recta que une dos puntos permanece paralela a sí misma durante el transcurso del movimiento, por lo que la variación del vector distancia “d” con el tiempo ha de ser nula:

  • d = ri – rj;
  • dd / dt = dri / dt – drj / dt = vi – vj = 0.

, de donde:

  • vi = vj.
  • ai = aj.

Es decir, cuando un sólido rígido está en traslación, la velocidad y la aceleración de cada uno de sus puntos es exactamente igual.

Movimiento de Rotación:

rotacion2Se dice que un sólido realiza un movimiento de rotación a través de un eje si todos los puntos del eje permanecen en reposo durante el movimiento.

Cualquier otro punto del sólido describe una circunferencia respecto al ejecuyo plano es perpendicular al mismo y su centro está en la intersección entre ambos, por lo que en un instante dado, todos los puntos del sólido se mueven con la misma velocidad angular “¬ω”.

Rototraslación:

En el caso del movimiento más general se puede reducir a una traslación seguida de una traslación a través de un punto base, donde la velocidad del punto “p” es igual a la de traslación y la de rotación del mismo:

  • vp = vt + ω Λ r.

En cada instante, la velocidad de los puntos del sólido rígido es la misma que si todos ellos se trasladaran con la velocidad de uno cualquiera de ellos, y a la vez el cuerpo girase con la velocidad angular “¬ω”alrededor de un eje que pase por el punto de referencia.

Momento de Inercia:

inerciaSe puede definir el momento de inercia como la magnitud escalar que determina la facilidad con la que puede rotar un cuerpo sobre un eje, dependiendo exclusivamente de su masa y de su distancia al mismo:

  • I = m r^2.

Cuando tratamos con sólidos rígidos, al poder estar su masa distribuida de cualquier modo, es necesario recurrir al cálculo integral:

  • I = ∫(r^2) dm.

Se pueden obtener así unos cuantos momentos de inercia estándar que resultarán últiles, como son los momentos de inercia respecto a:

  • el eje de coordenadas: I0 = ∫(x^2 + y^2 + z^2)dm, siendo “x”, “y” y “z” las coordenadas del punto.
  • el eje OX: Ixx = ∫(y^2 + z^2)dm.
  • el eje OY: Iyy = ∫(x^2 + z^2)dm.
  • el eje OZ: Izz = ∫(x^2 + y^2)dm.
  • el plano z = 0: Ixoy = ∫(z^2) dm.
  • el plano y = 0: Ixoz = ∫(y^2) dm.
  • el plano x = 0: Iyoz = ∫(x^2) dm.

De las anteriores se obtienen las siguientes igualdades:

  • I0 = Ixoy + Ixoz + Iyoz.
  • I0 = Ixx + Iyoz.
  • I0 = Iyy + Ixoz.
  • I0 = Izz + Ixoy.
  • Ixx = Ixoy + Ixoz.
  • Iyy = Ixoy + Iyoz.
  • Izz = Ixoz + Iyoz.
  • I0 = (Ixx + Iyy + Izz) / 2.

Además hay que tener en cuenta los Productos de Inercia, que si bien no tienen interpretación cualitativa, son útiles para simplificar algunas ecuaciones:

  • Ixy = ∫(x y) dm.
  • Ixz = ∫(x z) dm.
  • Iyz = ∫(y z) dm.

Radio de Giro:

Se denomina radio de giro “k” de un cuerpo respecto al eje AA'” a la distancia medida desde el eje a un punto en el cual sería necesario concentrar toda la masa de un cuerpo para obtener el mismo momento de inercia respecto al que tiene el sistema:

  • I = m k^2.

, de donde:

  • k = [I / m]^½.

Teorema de Steiner:

El momento de inercia respecto a un eje es igual al momento de inercia de un eje paralelo incrementado en el producto de la masa por el cuadrado de la distancia que los separa:

  • I = I’ + m d^2.

Momento de Inercia de una varilla de longitud “L” respecto a un eje perpendicular que pasa por un extremo:

  • I = ∫(r^2) dm = ∫((r^2 λ) dL) desde “0” hasta “L”, siendo “λ” la densidad lineal = λ L^3 / 3.

Dado que:

  • m = λ L.

, por la definición de densidad lineal, la ecuación también se puede expresar como:

  • I = m L^2 / 3.

inercia-cilindroMomento de Inercia de un cilindro respecto a su eje central:

  • I = ∫(r^2) dm = ∫(r^2 ρ) dV.

, siendo “ρ” la densidad volúmica. Como en el cilindro se cumple que:

  • dV = 2 π r L dr.

, podemos cambiar la expresión a:

  • I = 2 π ρ L ∫((r^3) dr) desde “0” hasta “R”.

, resultando:

  • I = π ρ L R^4 / 2.

Asimismo, la masa del cilindro se puede calcular como:

  • m = ρ ∫(dV) = ρ π R^2 L.

Si llevamos esto a la ecuación anterior:

  • I = m R^2 / 2.

Momento de Inercia de una esfera respecto a su centro:

  • inercia-esferaI0 = ∫(r^2) dm = ∫(r^2 ρ) dV.

Como en la esfera se cumple que:

  • dV = 4 π r^2 dr.

, podemos cambiar la expresión a:

  • I = 4 π ρ ∫((r^4) dr) desde “0” hasta “R”

, resultando:

  • I = 4 π ρ R^5 / 5.

Como la masa de la esfera se puede expresar como:

  • m = 4 π ρ R^3 / 3.

, la ecuación completa sería:

  • I = 3 m R^2 / 5.

Momento Angular del Sólido Rígido respecto a un eje fijo:

  • L0 = ∫(r Λ v) dm.

, y como:

  • v = ω Λ r.

, nos resulta que:

  • L0 = ∫(r Λ (ω Λ r)) dm.

Operando y teniendo en cuenta que:

  • ω = ωz k.

, siendo “k” el vector unitario de dicho eje, nos resulta:

  • L0 = -ωz (Ixz i + Iyz j – Izz k).

Además, si gira sobre OZ los dos primeros sumandos son nulos (la distancia al eje OZ es 0), y por tanto:

  • L0 = Izz ωz k.

, y el momento respecto a OZ resulta:

  • Lzz = I ω.

Si derivamos respecto al tiempo el momento angular, tal y como vimos en el tema de Dinámica:

  • dL0 / dt = M0.

, y si derivamos la otra parte de la igualdad:

  • I dω / dt = I α.

, siendo “α” la aceleración angular. En resumen:

  • M0 = I α.

Tal vez en este partado se hayan evidenciado más cuentas de las que se debía, pero es que wordpress.com no permite escribir matrices para detallar los productos vectoriales mencionados.

Energía Cinética:

La energía cinética del sistema de rotación viene definida por:

  • Ec = 1 / 2 ∫(v^2) dm = 1 / 2 ∫(ω Λ r) (ω Λ r)dm.

, de donde operando se obtiene:

  • Ec = ω L0 / 2.

, y si gira respecto a un eje principal:

  • Ec = I ω^2 / 2.

Rodamiento sin deslizamiento:

Cuando un cilindro o una esfera ruedan sin deslizar sobre un plano tan solo un punto de su periferia está en contacto con el plano en cada instante. La definición formal de rodar sin deslizar es que la velocidad instantánea del punto de contacto es 0.

Para entender su significado, pensemos que la velocidad de cualquier punto del sólido rígido viene dada por:

  • v = vG + ω Λ r.

, siendo “vG” la velocidad de traslación del centro de masas. Una correcta interpretación de la ecuación nos lleva a que:

  • v = vG – ω r.

, por lo que para que v = 0, vG = ω r.

rodar-sin-deslizarEn este caso partícular, se cumple que la velocidad del centro de masas es vG, la del punto de contacto es 0, y la del punto diametralmente opuesto al de contacto es 2 vG, sucediendo lo mismo con las aceleraciones.

Esta forma de desplazamiento, por sus características, no puede existir en ausencia de rozamiento, y como se considerará que el punto de contacto se encuentra instantáneamente en reposo, la fuerza de rozamiento que actúa es la estática y no la dinámica. Es decir, que en cualquier problema en el que nos digan que un cuerpo se desplaza sobre una superficie rodando sin deslizar existe rozamiento, aunque no se especifique en el enunciado.

Otra característica de rodar sin deslizar es que aunque haya fuerza de rozamiento ésta no produce trabajo. Al estar aplicada en el punto de contacto y encontrarse éste instantáneamente en reposo. Como consecuencia, a pesar de existir fuerza de rozamiento se conserva la energía mecánica del sólido, siempre que las demás fuerzas que actúen sean conservativas.

Comments
3 Responses to “Sólido rígido: determinación, traslación, rotación, momento de inercia, radio de giro, teorema de Steiner, momento angular, energía cinética, rototraslación y giro sin rodamiento.”
  1. Luis dice:

    Hola. Ante todo te felicito por el blog. Yo también estudio Física aunque este es mi primer año en la facultad. Hace poco he descubierto tu blog y me ha sido de gran ayuda.
    Cuando calculas el momento de inercia de la esfera, ¿porque al final te da 3(mR^2)/5, si en todos los lugares viene 2(mR^2)/5?
    Yo lo estoy intentando calcular y me da igual que a ti
    Gracias

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