Física

“Gödel, Escher, Bach: Un Eterno y Grácil Bucle”, Douglas Hofstadter

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Desde hace mucho tiempo, cuando me lo recomendaron por primera vez, tenía la idea de que “Gödel, Escher, Bach” (de ahora en adelante GEB) era un libro divulgativo clásico que introducía de forma amena conceptos acerca del teorema de incompletitud de Kurt Gödel, las anti intuitivas imágenes de M.C. Escher y las complejas composiciones de Johann Sebastian Bach. Por supuesto, estaba completamente equivocado. Y esta es una de esas ocasiones en las que uno se alegra de estarlo, pues GEB es más bien una excelente guía introductoria a la teoría de la consciencia, y voy a resumir las ideas principales porque más de una vez me habéis preguntado al respecto.

Douglas Hofstadter es un físico reconvertido a filósofo que en cierto punto de su vida, según él mismo cuenta, se dio cuenta de que los tres autores anteriores hacían alusión desde sus ramas (las matemáticas, los grabados y la música) a una misma idea: la recursividad en la que un sistema intenta analizarse a sí mismo. Una cuestión que, desde su punto de vista, debía de estar muy relacionada con el fenómeno del ser humano pensando acerca de su propia mente y le llevó a escribir esta obra de nada menos que ochocientas páginas y publicarla en 1979.

Recuerdo que cuando lo comencé a leer hace unos meses mi primera sorpresa fue descubrir que, pese a ser una obra bastante sonada, no estaba escrita de modo sencillo. De hecho, una de las primeras cosas que hice fue preguntar a colegas si el libro no era nada divulgativo o era solo impresión mía. Recuerdo que una de las respuestas fue que era muy interesante, pero sin una cierta formación y cultura de base leerlo podía ser más complicado que subir el Everest. Así que lo que pretendía ser una lectura relajada resultó otro reto al nivel de leer a Roger Penrose para principiantes, aunque con menos ecuaciones.

GEB se divide en dos partes, aunque las constantes autorreferencias hacen complicado establecer una distinción clara. La primera de ellas, a la cual el autor llama GEB, trata acerca de los fundamentos de los sistemas lógicos formales. La segunda, EGB, se mete de lleno en la cuestión de cómo analizar formalmente la mente humana y hasta dónde se puede explorar esa idea.

Todos los capítulos, a excepción del primero y el último, constan de dos partes. En la primera, el autor expone un diálogo entre personajes que sirve de introducción al tema, y en la segunda lo desarrolla ya sin florituras. Personalmente, opino que con honrosas excepciones lo que da más calidad al libro son los diálogos, ya que las exposiciones técnicas son compartidas con bastantes otros autores, en particular cuando habla de los axiomas en matemáticas, de genética o de los fundamentos de la programación.

En los diálogos los dos protagonistas fundamentales son Aquiles y la Tortuga, que protagonizan a su vez la famosa paradoja de Zenon (fuera del libro), una de las primeras en tratar los bucles autorreferenciales infinitos al analizar cómo Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga dado que cuando llegase a su posición, esta estaría en una posición diferente aunque hubiese pasado poco tiempo. En GEB, la Tortuga representa habitualmente el personaje sabio, mientras que Aquiles representa el personaje más bien heurístico y pragmático. Sus conversaciones suelen tener estructuras interesantes relacionadas con el capítulo. Por ejemplo, cuando el tema a tratar es la estrecha relación entre una forma y su forma complementaria, en el diálogo tan solo leemos a Aquiles y, sin embargo, es perfectamente deducible lo que la Tortuga le está contestando aún sin que su parte esté escrita. En otra ocasión, al hablar de acrósticos, el propio diálogo forma uno. Pero quizás el más relevante sea el diálogo “canon Cangrejo”, que se lee igual hacia delante y hacia atrás, y el propio autor comenta lo que le costó desarrollarlo. He encontrado francamente entretenido intentar descubrir el truco de cada diálogo antes de que el autor lo explicase.

Dentro de la parte del libro que no son diálogos, sin embargo, GEB deja de suponer una obra amena con trucos para convertirse en texto expositivo. Los capítulos iniciales acerca de los fundamentos de la teoría de los números se me hicieron eternos porque para alguien formado son cosas muy elementales explicadas de forma hiper densa, y te lo lees por si comenta algo interesante por el medio para descubrir que no. Seguramente estos capítulos sean útiles para gente que esté empezando en la universidad (por ejemplo, el divulgador musical Jaime Altozano dijo en un vídeo de Youtube que este libro le había resultado muy práctico en ese sentido. Dicho esto, creo que pocas cosas pueden hablar mejor de la cultura de Jaime que que elogie del modo en que lo hace GEB), pero en mi caso hizo que tardase semanas en retomar la lectura.

Tras los capítulos iniciales, que constituyen toda la primera parte, comienza a hablar de conceptos informáticos, distinguiendo entre los lenguajes máquina de las computadoras y los de nivel superior, describe con detalle la noción de niveles de análisis de un sistema (por ejemplo, tratar la mente como una unidad, como un conjunto de pensamientos, uno de neuronas o uno de átomos) y empieza a hacer analogías entre las neuronas intentando comprender la mente que crean y los números intentando comprender los axiomas de Peano de la aritmética (que es el fundamento del teorema de incompletitud de Gödel).

Gödel demostró que dentro de la teoría aritmética había afirmaciones que era imposible verificar si eran verdaderas o falsas desde la propia teoría, y Hofstadter se adentra entonces en la cuestión de si una extrapolación posible de dicho teorema es que para nuestras neuronas habrá cuestiones acerca de sí mismas que también les serán inabordables, como la naturaleza de la mente. Indica que en su opinión no es el caso, porque la analogía entre el sistema formal de Gödel y la estructura neuronal no es exacta.

Dentro de sus explicaciones de cómo “gödelizar” la comprensión de la mente plantea un ejemplo que he encontrado francamente elegante e ilustrativo, así que voy a parafrasearlo con pinceladas de las ideas profundas que involucra.

En resumen, el teorema de Gödel se fundamenta en lo siguiente: los números siguen unas reglas que podemos caracterizar con teoremas, y estos teoremas siguen una estructura que podemos analizar con meta-teoremas. Los teoremas, a su vez, son expresables en términos de números, y al aplicar a los teoremas (pensados como números) los mismos métodos que aplicamos como números, podemos observar que habrá enunciados indecidibles, es decir, que no se puede saber si son correctos o no. En particular, Gödel demostró que en el caso de la aritmética la afirmación “esta teoría es consistente consigo misma” es indecidible.

En GEB se “gödeliza” la mente del siguiente modo. Supongamos que tenemos nuestro cerebro, el cual toma decisiones, y que estas decisiones vienen definidas por la estructura cerebral del mismo. Pensemos en la toma de decisiones como un tablero de ajedrez, y en la estructura cerebral como otro tablero diferente. Al jugar en el segundo tablero, cambiamos las reglas del primero. A su vez, un tercer tablero podría cambiar las reglas del segundo y así indefinidamente. Resulta entonces que en el caso de nuestros cerebros, en realidad, todos los tableros serían el mismo. Cuando pensamos algo no solo generamos un pensamiento, sino que además por la física del cerebro modificamos la estructura que ha dado lugar a dicho pensamiento, y a sus meta-estructuras a su vez. En este sentido, la estructura cerebral podría estar tan vinculada a las neuronas como los teoremas de la aritmética lo están a los números a los que se refieren. De modo que, quizás (aunque esto no es ciencia sino metafísica), exista un teorema de incompletitud que haga que un cerebro no pueda dar lugar a una mente que comprenda su propia coherencia.

Quizás lo más espectacular de GEB es cómo Hofstadter va dando forma metafórica a todas estas ideas en los diálogos. Al comienzo del libro, se explica que Bach escribió su “Ofrenda musical” para Federico el Grande. Esta obra estaría compuesta de fugas, que son la manifestación musical más clara de la idea de recursividad. En sus diálogos a lo largo de todo el libro, aparece esta noción de ofrenda musical de una forma muy vinculada al teorema de Gödel.

La Tortuga le explica a Aquiles que hizo a su amigo el Cangrejo una ofrenda musical. El cangrejo es un tercer personaje que aparece en el diálogo que se lee igual hacia delante que del revés, en analogía a su peculiar forma de caminar.  La ofrenda musical de la Tortuga consistía en un disco que, al ser reproducido en el exquisito fonógrafo del Cangrejo, lo haría romperse. En particular, el disco se llamaría “No puedo ser reproducido por el fonógrafo del Cangrejo”. Nótese la paradoja. Si el fonógrafo quiere verificar la veracidad de tal afirmación, debe destruirse a sí mismo en el proceso, con lo que para ese fonógrafo el disco es indecidible. Me parece preciosa la analogía con el teorema de Gödel.

El Cangrejo entonces le dice a la Tortuga que ha adquirido otro fonógrafo que puede reproducir el primer disco, llamémosle A, y entonces la Tortuga le ofrece un disco llamado “No puedo ser reproducido por el fonógrafo B”. Tras analizar con detalle que si el fonógrafo es muy bueno, siempre existirá una frecuencia de resonancia que lo hará romperse, el Cangrejo llega a la conclusión de que solo puede salvarse de la trampa de la Tortuga haciendo que la calidad del fonógrafo sea mala. Si el fonógrafo reproduce con precisión el contenido de los discos, siempre se lo podrá hacer romperse, pero si su calidad es mala, no padecerá este problema. Con esto Hofstadter explica que si un sistema es coherente, entonces padece la incompletitud de Gödel, pero si no lo es no pasa nada. El Cangrejo puede elegir entre tener un fonógrafo excelente que no pueda reproducir su disco asociado, o tener uno malo que no se rompa.

Creo que esta metáfora es el principal regalo intelectual que nos hace GEB a los lectores.

Y a parte de esto, tan solo queda mencionar que hace análisis interesantes (aunque no tanto) sobre los avances que había hasta la fecha de publicación del libro en inteligencia artificial.

Me gustó también, eso sí, una afirmación acerca del determinismo que no había leído tan bien expresada con anterioridad. En el diálogo “furmiga”, el personaje Oso Hormiguero explica que una colonia de hormigas, en su conjunto, se comporta como una estructura en cierto sentido pensante, si bien cada hormiga individual carece de consciencia del hormiguero como conjunto. El Oso Hormiguero justifica así afirmaciones como que las hormigas le temen, pero la colonia en sí, a la cual se refiere como “Madame Cologne d’Or Migas”, es su amiga y le invita a comerlas.

El Oso Hormiguero indica que en la colonia existen varios niveles, entre ellos la colonia como un conjunto, las castas de hormigas y cada hormiga individual. Lo que hace cada hormiga individual puede parecer caótico o sinsentido, pero es a nivel de castas y de toda la colonia cuando se aprecia el cuadro completo. Entonces se da este diálogo:

Cangrejo: (…) Las colonias sobreviven porque su distribución de castas tiene sentido, y ese sentido es un aspecto holístico, invisible en niveles inferiores. Usted pierde poder explicativo si no toma en cuenta ese nivel superior.

Oso Hormiguero: Entiendo su posición, pero creo que usted ve las cosas demasiado estrechamente.

Cangrejo: ¿Cómo es eso?

Oso Hormiguero: Las colonias de hormigas han estado sujetas a los rigores de la evolución por billones de años. Unos pocos mecanismos fueron seleccionados, y la mayoría fueron rechazados. El resultado final fue una serie de mecanismos que hacen que la colonia trabaje así como nosotros la hemos descrito. Si usted pudiera observar el proceso completo en una película (corriendo un billón de veces más rápido que en la vida real, por supuesto) vería la emergencia de diversos mecanismos como respuestas naturales a presiones externas, tal como las burbujas en el agua hirviendo son respuestas naturales a una fuente de calor externa. Supongo que usted no ve “significado” ni “finalidad” en las burbujas de agua hirviendo, ¿o sí?

Cangrejo: No, pero…

Oso Hormiguero: Ahora bien, esa es MI posición. No importa cuán grande sea una burbuja, ella debe su existencia a procesos de nivel molecular, y usted puede olvidarse acerca de cualquier “ley de nivel superior”. Lo mismo vale para las colonias de hormigas y sus equipos. Al mirar las cosas desde la vasta perspectiva de la evolución, puede usted vaciar a la colonia de significado y finalidad. Ellas se convierten en nociones superfluas.

Aquiles: ¿Por qué entonces, doctor Oso Hormiguero, me dijo usted que conversaba con Madame Cologne d’Or Migas? Ahora parece que usted negara absolutamente que ella sea capaz de hablar o pensar.

Oso Hormiguero: No estoy siendo inconsistente, Aquiles. Vea, tengo tanta dificultad como cualquier otro para ver las cosas en una escala de tiempo tan grandioso, de modo que encuentro mucho más fácil cambiar de punto de vista. Cuando procedo así, olvidándome acerca de la evolución y viendo las cosas en el aquí y el ahora, recupero el vocabulario teleológico: el “significado” de la distribución de castas y la “finalidad” de las señales. Esto no solo sucede cuando pienso en colonias de hormigas, sino también cuando pienso acerca de mi propio cerebro y otros cerebros. Sin embargo, con algún esfuerzo, siempre puedo recordar el otro punto de vista si es necesario, y también vaciar de cualquier significado a todos estos sistemas.

En resumidas cuentas, considero que este libro es una joya de difícil acceso. Del mismo difícil acceso que el concepto de belleza matemática. Si consideras que puedes adentrarte en sus páginas e impregnarte de todo su contenido, me parece completamente recomendable. Pero si, por el contrario, el resumen que he hecho ya te parece demasiado abstracto y complicado, seguramente leerlo se parezca más a una tortura que a una experiencia agradable. De todos modos, reitero que para gente ya formada en matemáticas e informática lo mejor puede ser pasar de largo por los tramos expositivos, que pueden volverse desesperantes por lo lentos que avanzan.

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“Manos dibujando”, grabado de Escher autorreferente.

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Categorías:Física, Libros

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