Órbitas y referenciales

Ayer estudiamos así por encima toda la cinemática, y concluimos con el caso de la aceleración centrípeta, que venía dada por la fórmula:

  • ac = v^2 / r (velocidad tangencial de la curva al cuadrado entre el radio).

Esta aceleración, consecuentemente, viene dada por una fuerza centrípeta a cuyo valor solo hay que añadirle la masa:

  • Fc = m v^2 / r.

Una plataforma se desplaza siguiendo un movimiento circular según se indica en el dibujo. Si la caja ubicada en el centro perdiese toda fricción y comenzase a desplazarse libremente por el espacio, ¿por qué lado de la plataforma caería?

La respuesta es que lo haría más o menos entre los puntos B y C de la plataforma, dependiendo de la dimensión de esta. es fácil de calcular el punto exacto si se sigue la trayectoria de ambos cuerpos a lo largo del tiempo.

Y si fuese un autobús, ¿de qué modos podría un viajero asegurarse de no salir disparado hacia fuera con la curva?

Con las manillas, dejando que su acompañante frenase su desviación, o inclinándose en el sentido de la curva.

Decide cuáles de las siguientes trayectorias son posibles para que un satélite orbite alrededor de La Tierra, suponiendola esférica y uniformemente densa.

La primera opción es errónea porque la fuerza centrípeta no va hacia el centro de la órbita, y es un requisito indispensable para que un cuerpo orbite solo.

Las opciones dos y tres son perfectamente posibles, ya que la fuerza centrífuga se dirige al centro de la circunferencia de la órbita.

Recordemos que la fuerza centrífuga se dirigirá siempre hacia el núcleo de La Tierra, ya que es ella quien atrae.

Se denominan órbitas geoestacionarias a aquéllas que tienen la misma velocidad angular que La Tierra, y que además describen una órbita concéntrica con el ecuador. Calcular a qué distancia tienen que hallarse del núcleo terrestre.

La fuerza gravitatoria es una fuerza centrípeta:

  • Fg = Fc
  • G m m’ / r^2 = m v^2 / r

Las masas y los radios se anulan:

  • G m’ / r = v^2

La velocidad lineal es igual a la angular por el radio:

  • G m’ / r = ω^2 r^2

Si despejamos el radio:

  • r = [G m’ / ω^2]^1/3

“G” es la constante de gravitación universal: 6,37×10^¯11 m^3 / kg s^2. “m'” es la masa de La Tierra: 6 x 10^24 kg. La velocidad angular de La Tierra son los radianes que vale una vuelta (2 π), divididos entre el día que le lleva recorrerlos (86400 s).

Sustituyendo los valores resulta que el radio de las órbitas geoestacionarias es de 41000 km. O sea que a esa altura, donde están ubicadas las antenas de telefonía y demás sistemas de comunicación, espionaje o observación se encuentran allí arriba.

¿Qué le pasaría a un coche que tomara una curva donde se enlazasen tramos rectos con tramos curvos?

Que se saldría de la carretera, porque la diferencia de curvatura estaría mal enlazada. Es por eso que se usan clotoides para enlazar los tramos rectos con los curvos.

Si considerásemos a la carretera la función definida de la posición, una desigualdad en la curvatura supondría una alteración en la derivada segunda, y sería bastante desagradable. Una alteración de la derivada primera supondría un cambio de dirección repentino. Finalmente, una alteración en la derivada cero supondría que la carretera estaría definida a cachos.

Sabemos que un sistema de referencia queda definido por sus ejes, su observador y el aparato de medida que usa. Supongamos un referencial fijo y otro referencial móvil respecto del primero con velocidad de traslación “v” y que a la vez va girando con ω. ¿Qué relaciones hay entre ambos sistemas de referencia en un sistema Galileico?

A través de un complejo cálculo vectorial se llega a la conclusión de que la velocidad medida por el referencial fijo “¬v”, es igual a la velocidad medida por el referencial móvil “¬v'”, sumada con la velocidad de traslación de este “¬v0” y el producto vectorial de su giro “¬ω Λ ¬r”.

Alguien dice que un avión desde Madrid hasta Nueva York, que va a favor del movimiento de rotación de La Tierra, tarda menos que un avión que va desde Nueva York hasta Madrid. ¿Es eso cierto?

No, porque los resultados obtenidos desde un sistema de referencia móvil son exactamente iguales a los obtenidos desde cualquier otro en tanto que al avión lo arrastra el aire con la misma velocidad.

Las gotas de lluvia, al deslizarse por un automóvil en marcha, forman trazas de 40º respecto a la vertical. Sabiendo que “v” es de 5 m/s, ¿a qué velocidad circula el automóvil?

Aplicando las ecuaciones trigonométricas respectivas al esquema, V = 5 Tg40º = 4,2 m/s.

Desde un puente un hombre observa cómo a un piragüista se le cae una botella de coñac llena que va quedando atrás. El hombre llama al piragüista, y ya que no le escucha le sigue hasta alcanzarlo medio hora después. Al enterarse, el piragüista regresa y recoge la botella del río. Su v’ es de 6,5 km/h respecto del río, y la de este respecto a la orilla (en contra del piragüista) es de 3 km/h. ¿Cuánto tiempo estuvo la botella en el agua?

Si observamos el problema siendo la botella, el piragüista se aleja de nosotros durante media hora a 6,5 km/h (ya que nos movemos con el agua). Si da la vuelta a la misma velocidad le llevará el mismo tiempo, de modo que el tiempo total será de media hora más media hora: una hora.

¿Y si lo observamos desde el exterior del agua?

La velocidad del agua será de -3 km/h, y aplicando el esquema de antes la del surfista respecto al exterior del canal es de:

  • v = [6,5^2 – (- 3)^2]^½ = 5,76 km/h. (Por Pitágoras).

El espacio recorrido por el agua alejándose del piragüista es de:

  • er = – 3 km/h (Δt + 0,5 h)

El espacio recorrido por el surfista dando la media vuelta es de:

  • er = – 5,76 km/h

Como se encontrarán en el mismo punto del espacio, no hay más que igualar sus ecuaciones:

  • -3 Δt -1,5 = – 5,76 Δt
  • 2,76 Δt = 1,5
  • Δt = 0,5 h

El tiempo que le lleva al piragüista recuperar la botella es de media hora, que junto con la otra media vuelven a suponer una hora de botella en el agua.

A un bañista le lleva una corriente de 2 m/s. ¿Puede salvarse de ella?

En el mejor de los casos su velocidad sería de 100 m en 50 s (tiempo estándar olímpico), lo que implica una brazada de 2 m/s, a la que si le aplicamos fuerzas de rozamiento y demás se vería reducida, por lo que es imposible evadirse de esa corriente.

Un móvil se desplaza a lo largo de un radio de una plataforma giratoria. Describir el movimiento desde dentro y desde fuera.

Desde la plataforma el movimiento se verá rectilíneo, ya que sigue el radio.

Desde el exterior el recorrido será espiral, con un paso mayor que cero según el radio, la velocidad del móvil, y la velocidad angular de la plataforma.

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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