¿Cómo demostrar que raíz de dos es irracional sabiendo que los números racionales se caracterizan por poderse definir como una fracción a / b, donde «a» y «b» son primos entre ellos?

Si fuese racional:

• 2^1/2 = a / b.
• 2 = a^2 / b^2.
• p^2 = 2 q^2 (de aquí sacamos que «p» es par, y sigue la estructura p = 2 n).
• 2 q^2 = 4 n^2.
• q^2 = 2 n^2.

Ambos números son pares, de modo que tienen un factor común que es dos. No son primos entre ellos, así que 2^1/2 es irracional.

Si «n» es un entero mayor que dos, entonces no existe ningún entero «m» tal que: n + m = n m

Planteémoslo al revés de nuevo.

• n + m = n m
• n + m – n m = 0
• n (1 -m) + m = 0
• n (1 – m) = – m.

Como «m» no puede ser igual a uno para que la igualdad de la tesis tenga sentido, se puede dividir por «1 – m» sin miedo a que valga 0:

• n = -m / (- m + 1) < 2.

Para que se cumpla la igualdad «n» tiene que ser menor que 2, por lo que la tesis es falsa.

En un conjunto numérico pueden estar definidas varias operaciones (suma, resta, multiplicación…). Cada operación puede ser: interna en el conjunto si sus resultados están dentro del conjunto numérico, o externa en el conjunto si sus resultados noe stán contenidos en él (la división de números naturales genera números racionales). Asimismo, una operación dentro de un conjunto puede tener propiedad conmutativa, distributiva, un elemento neutro de operación (0 en la suma, 1 en la multiplicación…) y un valor inverso para cada término que al operar con él de lugar al neutro (el opuesto en la suma, el inverso en la multiplicación…)