Clase: Métodos Matemáticos I

Axiomas del cuerpo de los números reales y recta real.

Los números reales (R) se definen por varios axiomas, clasificados entre cuerpo y orden:

Axiomas de cuerpo:

Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto. Ser operación interna implica que si “x” e “y” ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también. Se verifica que:

  • Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y = y + x; x y = y x.
  • Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).
  • Existe distributividad del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z.
  • Dos números reales x e y poseen un número z ς R // y = z + x. A “z” se le designa por “y – x”. El número real x – x = 0 se puede demostrar que es independiente de “x”, y al número real 0 – x = – x se le denomina opuesto de “x”.
  • Existe un número real distinto de 0. Dados “x” e “y” ς R, siendo x ≠ 0, existe un único z ς R // y = z x. A “z” se le designa como “y / x”. El número real x / x = 1 se puede demostrar que es independiente de “x” si x ≠ 0. El númeo 1 / x se designa por “x^-1”, y se denomina inverso o recíproco de “x”. Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1.

Axiomas de orden:

Admitimos la existencia de una relación “<” entre ls números reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Se verifica:

  • Dados dos números reales “x” e “y” se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: x < y, x > y ó x = y.
  • Sean “x” e “y” dos números reales // x < y, se deduce que: para todo z ς R: x + z < y + z.
  • Considerados dos números reales tales x” e “y” // x > 0 e y > 0, entonces x y > 0.
  • Considerados tres números reales “x”, “y” y “z” // x < y ∩ y < z, se cumple que: x < z. Propiedad transitiva de los números reales.

Teorema: Sean “a”  y “b” ς R, si Ε > 0 y si a + E ≤ b, entonces “a ≤ b”.

Recta real y concepto de intervalo:

Los números reales son a menudo representados geométricamente como puntos de una recta denominada recta real. Se elige un punto a la izquierda y otro a la derecha para que represente el 1. A cada punto de la recta real le corresponde un único número real, por lo que es habitual referirse al punto “x” como el número real “x”.La relación < admite una interpretación geométrica simple: si x < y, entonces “x” estará a la izquierda de “y”. Así, los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. El conjunto de todos los puntos comprendidos entre “a” y “b” se denomina intervalo. Es impotante distinguir los intervalos que incluyen a los extremos de los que no.

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11 replies »

  1. Tal vez esté equivocado yo y hay algo que no estoy viendo pero creo que hay dos errores en este artículo,a detallar:

    ” Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1. ”

    creo que aquí lo que quisieron poner es ”
    si ‘x’ distinto de 0 : x^0 = 1″

    segundo error:

    Teorema: Sean “a” y “b” ς R, si Ε > 0 y si a ≤ b + E, entonces “a ≤ b”.

    coloquemos arbitrariamente a=6 , b = 4 y E = 5 , entonces lo enunciado arriba no se verifica, ya que 6 ≤ 4+5 es distinto de 6 ≤ 5

    • Maximiliano
      el primero “error” que señalas no es tal, ya que x*x^-1=1 para x distinto de cero,
      con respecto a tu contraejemplo en el segundo, te equivocas al darte dos valores para a y b ya que con los valores que te das no se cumple a<=b, por tanto la implicancia de algo falso puede se tanto falso como verdadero

  2. por otro lado me gustaria saber si es posible que me digas donde puedo conseguir los 13 axiomas de los num reales toodos juntos gracias!

  3. el primer error que enuncias se debe mas bien, supongo, a un problema de claridad
    lo que escribi fue “x x^-1 = 1”, es decir, que cualquier numero por su inverso es igual a 1
    el segundo, efectivamente, estaba mal, me equivoque al poner el simbolo
    muchas gracias

    respecto a los 13 axiomas no se decirte
    yo aqui enuncie los que aprendemos en la licenciatura de fisica

    gracias por la intervencion

  4. Un resumen de los 13 axiomas serían

    Axiomas de la suma
    ==================
    x + y = z (z es único)
    x + y = y + x (conmutatividad en la suma)
    (x + y) + z = x + (y + z) (asociatividad en la suma)
    x + 0 = x (neutro aditivo)
    x + y = 0 (inverso aditivo)

    Axiomas del producto
    ====================
    x * y = z (z es único)
    x * y = y * x (el orden de los factores no altera el producto)
    (x * y) * z = x * (y * z) (asociatividad en la multiplicación)
    1 * x = 1 * x = x (neutro multiplicativo)
    x * y = 1 (inverso multiplicativo, “y” sería “1/x”)

    Axiomas de orden
    ================
    x < y, y < z entonces x < z (transitividad)
    x < y entonces x + z < y + z
    x 0 entonces x * z < y * z

  5. esta muy bien el articulo aunque no loentienda cuales es la propiedad de orden de adicioin y la de orden de un producto respondame gracias

      • SI TIENES RAZÓN EN PSICOLOGÍA LOS AXIOMAS DE LA COMUNICACIÓN TAMBIEN SE ASUMEN, ENTONCES LA COMUNICACIÓN SIEMPRE SE DA AUNQUE NO HABLEMOS Y ESTO ES ALGO QUE NO NESECITA DEMOSTRACIÓN PORQUE SE DA EN CADA RELACIÓN QUE TENEMOS CON EL OTRO

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