Propiedades de los conjuntos.

“¡Lo que no puede ser es que haya licenciados en física que tengan que llamar a un electricista para poder arreglar el sistema eléctrico de su casa!”

La “paridad” dentro del conjunto de los números enteros es la facultad de sus elementos de ser o no ser pares.

Propiedad reflexiva: Para todo x ς X se verifica que x ≈ x.

Propiedad simétrica: Dados “x” e “y” ς X, si x ≈ y, entonces y ≈ x.

Propiedad transitiva: Dados “x”, “y” e “z” ς X, si x ≈ y e y ≈ z, entonces x ≈ z.

“≈” es una relación de equivalencia en X.

Sea x ς X: [x] = clase de equivalencia del elemento “x” = (u ς X // u ≈ x) ς X.

Verificar que los siguientes enunciados son equivalentes: 1. x ≠ y, 2. [x] ≠ [y], 3. [x] ∩ [y] = 0.

Partimos de la primera: x no está relacionado con y.

Por la definición de equivalencia de “x”: [x] = (u ς X // u ≈ x) ς X. Todo elemento de la equivalencia de “x” tiene que estar relacionado con “x”. Dado que “y” no está relacionado con “x”, sus equivalencias tampoco. Por la propiedad simétrica, se obtiene lo mismo para las equivalencias de “y” respecto de “x”.

Por último, [x] ∩ [y] es el conjunto de números equivalentes a la vez a “x” y a “y”, que como no tienen relación de equivalencia alguna, no tienen ningún elemento en común. Por lo que el conjunto [x] ∩ [y] es nulo.

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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