Propiedades del supremo, aproximaciones decimales finitas, valor absoluto, desigualdad de Cauchy-Schwartz y numerabilidad.

Propiedades del supremo:

Sea S ς R no vacío acotado superiormente y sea b ς R // b = sup S → si a ς R // a < b, existe x ς S // ac < x ≤ b.

Sean “A” y “B” dos subconjuntos no vacíos de números reales que están acotados superiormente. Sea “C” el conjunto definido como C = (x + y) // x ς A y x ς B. Este conjunto está acotado superiorente y además el supremo de C será el supremo de A más el supremo de B.

Sean “S” y “T” dos subconjuntos no vacíos de números reales // todo s ς S y toso t ς T // s ≤ T. Si “T” está acotado superiormente, entonces: “S” está acotado superiormente y el superior de “S” es menor que el superior de “T”.

Z+ (los números naturales) no están acotados superiormente.

Todo x ς R → existe un n ς Z+ // n > x.

Sean x e y ς R, si x > 0 → existe un n ς Z+ // y < n x.

Aproximaciones decimales finitas:

Un número r = a0 + a1 / 10 + a2 / 100 + (…), onde a0 ≥ 0  y a0 ς Z+, y ai = 0, 1, 2 (…) → este número se escribe a0 a1 a2 (…) y tiene una rpresentación decimal finita.

Sea x ς R // x > 0, para todo n ς Z+ existe una aproximación decimal finita “rn” // rn ≤ x < rn + 1 / 10^n.

Valor absorluto:

Sea x  R, se define valor absoluto de x (/x/) como: /x/ = x si x ≥ 0, o como -x si x < 0.

Sean a y x ς R, si  /X/ = a ↔ -a ≤ x ≤ a.

Desigualdad triangular: todo x e y ς R → /x + y/ ≤ /x/ + /y/.

Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

Sean a1, (…) an, b1, (…), bn ς R → (∑ (ai bi) desde “i = 1” hasta “n”)2 ≤ (∑ (a2i) desde “i = 1” hasta “n”) (∑ (b2i) desde “i = 1” hasta “n”). La igualdad se produce solo para: a k x + b k = 0 para todo valor de “k”.

Sea “S” un conjunto no vacío, se dice que “S” es numerable si es finito y si, siendo infinito, podemos establecer una correspondencia 1 a 1 entre los Z+ y los del conjunto.

Propiedad arquimediana: para todo a y b ς R // a > 0 existe n ς Z+ // n a > b.

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