Cambios de base y diagonalización de matrices.

A partir de la teoría de aplicaciones lineales ya vista, es posible, siempre que la aplicación vaya de un espacio R^n a otro R^n, enfocar la aplicación como un cambio de base, es decir, si yo defino una base de vectores, por ejemplo en R^3:

  • v1 = (v1x, v1y, v1z).
  • v2 = (v2x, v2y, v2z).
  • v3 = (v3x, v3y, v3z).

en función de la base canónica de vectores:

  • i = (1, 0, o).
  • j = (0, 1, 0).
  • k = (0, 0, 1).

, estoy diciendo que:

  • v1 = v11 i + v12 j + v13 k.
  • v2 = v21 i + v22 j + v23 k.
  • v3 = v31 i + v32 j + v33 k.

Pero no siempre tenemos que representar las coordenadas de nuestro vector en la base canónica, y si elegimos otra base cambiarán sustancialmente.

Consideremos los vectores {v1, v2, v3} respecto a su propia base. Obtendríamos:

  • v1 = (1, o, o).
  • v2 = (0, 1, 0).
  • v3 = (0, 0, 1).

Y la base canónica se expresaría de otro modo:

  • i = ξ11 v1 + ξ12 v2 + ξ13 v3.
  • j = ξ21 v1 + ξ22 v2 +ξ23 v3.
  • k = ξ31 v1 + ξ32 v2 + ξ33 v3.

Los coeficientes “vij” y “ξij” definen un par de matrices inversas, “V” y “Ξ”, que representan, respectivamente, el cambio de la base {v1, v2, v3} a la base {i, j, k}, y viceversa.

Visto esto, una aplicación lineal poseerá una matriz asociada distinta según la base respecto a la cual se haga, y denominaremos Diagonalización de de la Matriz de una Aplicación Lineal al cambio de base que simplifica la transformación, de tal modo que la imagen de cualquier vector v={vx, vy, vz}, sea simplemente f(v)={λ1 vx, λ2 vy, λ3 vz}. Es decir, la transformación depende solo de “n” coeficientes {λ1, λ2, λ3}, y no de “n^2” como en el caso general. (Si ahora tenemos tres coeficientes es porque estamos viendo el caso particular de R^3 sin perdida de generalidad).

Denominaremos Autovector a cualquier vector perteneciente al espacio de partida que, tras tomar imagen en la aplicación lineal es linealmente dependiente consigo mismo, es decir, “v” es un autovector si:

  • f(v) = λ v.

, y por tanto todos los autovectores toman valores en sus propios subespacios. El coeficiente “λ” asociado al autovector se define como Autovalor de la aplicación lineal, y existirán tantos como autovectores linealmente independientes se puedan encontrar. Resulta obvio, entonces, que una aplicación lineal de un espacio de “n” dimensiones poseerá “n” autovalores como mucho.

Veamos ahora cómo calcular dichos autovalores. En R^3 supondremos una aplicación lineal tal que:

  • vx’ = a11 vx + a12 vy + a13 vz.
  • vy’ = a21 vx + a22 vy + a23 vz.
  • vz’ = a31 vx + a32 vy + a33 vz.

Matricialmente:

  • v’ = M v.

, donde “M” es la matriz de la aplicación lineal.

Si suponemos “v” un autovector, cumplirá:

  • M v = λ I v,

, donde “I” es la matriz identidad, necesaria para la expresión.

Agrupando:

  • (M – λ I) v = 0.

Y esto es lo mismo que exigir que:

  • |M – λ I| = 0.

Así pues, si queremos calcular los posibles valores de “λ”, no tenemos más que despejarlos de esta simple operación (pueden resultar complejos). Resuelto esto, se pueden despejar los autovectores del sistma para cada valor de “λ”.

Hechos los cálculos, siempre se cumple que nuestra nueva aplicación lineal, enfocada desde la base de los autovectores, tomará la forma:

  • vx’ = λ1 vx.
  • vy’ = λ2 vy.
  • vz’ = λ3 vz.

, la cual simplifica bastante las cosas.

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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