En anteriores capítulos hemos tratado la geometría analítica en el plano y en el espacio, y consecuentemente las curvas cónicas y las cuádricas. Haremos ahora, pues, un análisis detallado de las mismas.

Análisis General de las Cónicas:

Hasta el momento habíamos considerado las tres cónicas fundamentales a partir de sus ecuaciones reducidas. Estas ecuaciones son de segundo grado en las coordenadas «x» e «y». Si cambiamos el origen de corrdenadas o rotamos los ejes, las ecuaciones reducidas de las cónicas se transforman en ecuaciones de segundo grado. Consideremos la ecuación general:

• a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.

Esta ecuación se puede escribir de forma matricial como:

• [x, y] [a1, b; b, a2] [x; y] 2 [c1, c2] [x; y] + d = 0.

, o bien:

• Pt A P + 2 Bt P + c = 0.

, donde la «t» junto a una matriz indica traspuesta, es decir, las filas intercambiadas por las culumnas, y:

• P = [x; y].
• B = [c1; c2].
• A = [a1, b; b, a2].

De una forma más compacta:

• [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.

• Qt M Q = 0.

• Q = [1; x; y].

El lugar geométrico de los puntos (x, y) que verifican la ecuación anterior respecto a un sistema de coordenadas concreto se denomina cónica. En general, pediremos que:

• [a1, b; b, a2] ≠ [0, 0; 0, 0].

, ya que en caso contrario tendríamos la ecuación de una línea recta en el plano. Adoptaremos la notación:

• M = [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2].
• A = [a1, b; b, a2].

La matriz «A» es simétrica. A la matriz «M» se la denomina matriz de la cónica, mientras que a «A» la denominamos matriz de los términos cuadráticos.

Cónica Ordinaria y Cónica Degenerada:

Si una cónica cumple que:

• detM ≠ 0.

, se la denomina cónica ordinaria, y será en general una elipse, una hipérbola o una parábola.

Si una cónica cumple que:

• detM = 0.

, se la denomina cónica degeneradam y será la ecuación de un punto, un par de rectas, o tal vez no tendrá solución real.

Ecuación Reducida de las Cónicas:

Consideremos una cónica de ecuación:

• a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.

, o bien en forma matricial:

• [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.

Sabemos, además, que siempre existe una rotación de ejes que diagonaliza la matriz de los términos cuadráticos:

• A = [a1, b; b, a2].

Sea entonces ésta la transformación:

• x’ = Cosσ x – Senσ y.
• y’ = Senσx + Cosσ y.

En las nuevas coordenadas:

• A’ = [λ1, 0; 0, λ2].

, y la ecuación de la cónica se escribe como:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

Consideremos los casos:

.- λ1, λ2 ≠ 0:

Podemos entonces trasladar el origen de coordenadas de modo que en unas nuevas coordenadas (x», y») la ecuación sea:

• λ1 (x»)^2 + λ2(y»)^2 + k = 0.

Basta tomar:

• x’ = x» – α / λ1.
• y’ = y» – β / λ2.

, y sustituirlo en la ecuación general:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

, de donde:

• λ1 (x»)^2 + λ2(y»)^2 + k = 0.

, con:

• k = γ – α^2 / λ1 – β^2 / λ2.

En este nuevo sistema de ejes:

• M» = [k, 0, 0; 0, λ1, 0; 0, 0, λ2].
• A» = [λ1, 0; 0, λ2].

, por tanto:

• detM» = ρ^3 detM.
• detA» = ρ^2 detA.
• λ1 = ρ λ1.
• λ2 = ρ λ2.

De aquí obtenemos:

• ρ = 1.

, y además:

• k λ1 λ2 = detM.
• λ1 λ2 = detA.
• k = detM / detA.

Llegamos a la ecuación reducida:

• λ1(x»)^2 + λ2 (y»)^2 + detM / detA = 0.

Los tipos de cónicas descritas por esta ecuación reducida son elipses e hipérbolas, y pares de rectas concurrentes:

Elipses:

• λ1 > 0.
• λ2 > 0.
• detM / detA < 0.

• λ1 < 0.
• λ2 < 0.
• detM / detA > 0.

Elipses Imaginarias:

• λ1 > 0.
• λ2 > 0.
• detM / detA > 0.

• λ1 < 0.
• λ2 < 0.
• detM / detA > 0.

Hipérbolas:

• λ1 > 0.
• λ2 < 0.
• detM / detA ≠ 0.

• λ1 < 0.
• λ2 > 0.
• detM / detA ≠ 0.

Pares de rectas:

• λ1 λ2 < 0.
• detM = 0.

Origen:

• λ1 λ2 > 0.
• detM = 0.

.-Alguno de los Autovalores de «A» es nulo.

Sin pérdida de generalidad, podemos considerar:

• λ1 = 0.
• λ2 ≠ 0.

Si consideremos la ecuación en el sistema en que «A» es diagonal tendremos:

• λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

Hacemos el cambio:

• y’ = y» – β / λ2.
• x’ = x».

Denotando:

• k = γ – β^2 / λ2.

tenemos:

• λ2 (y»)^2 + 2 α x» + k = 0.

Hagamos ahora el cambio:

• y»’ = y».
• x»’ = x» + k / (2 α).

• λ2 (y»’)^2 + 2 α (x»’ – k / (2 α)) + k = 0.
• λ2 (y»’)^2 + 2 α x»’ = 0.

• M»’ = [0, α, 0; α, 0, o; 0, 0, λ2].
• A»’ = [0, 0; 0, λ2].

• detM»’ = – α^2 λ2 = ρ^3 det M.
  
• λ2 = ρ λ2.

Entonces tenemos de nuevo:

• ρ = 1.

, y:

• α^2 = – detM / λ2 > 0.

Por tanto la ecuación de la cónica será:

• λ2 (y»’)^2 + 2 [- detM / λ2]^1/2 x»’ = 0.

En esta ecuación los dos signos de la raíz son posibles.

Parábolas:

• detM ≠ 0.

Rectas:

• detM = 0.

Estudio General de las Cuádricas:

Denominaremos cuádrica al lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen una ecuación del tipo:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + 2 b1 yz + 2 b2 xz + 2 b3 xy + 2 c1 x + 2 c2 y + 2 c3 z + d = 0.

En forma matricial la escribimos como:

• [1, x, y, z] [d, c1, c2, c3; c1, a1, b3, b2; c2, b3, a2, b1; c3, b2, b1, a3] [1; x; y; z] = 0.
• Qt M Q = 0.

Denominamos matriz de la cuádrica y matriz de los términos cuadráticos, respectivamente, a:

• M = [d, c1, c2, c3; c1, a1, b3, b2; c2, b3, a2, b1; c3, b2, b1, a3].
• A = [a1, b3, b2; b3, a2, b1; b2, b1, a3].

También podemos escribir la cuádrica de la siguiente manera:

• [x, y, z] A [x; y; z] + 2 [c1, c2, c3] [x; y; z] +d = 0.
• Pt A P + 2 Ct + d = 0.

Si:

• detM ≠ 0.

, tendremos una cuádrica ordinaria: un elipsoide, un hiperboloide o un paraboloide.

Si:

• detM = 0.

, tendremos una cuádrica degenerada: un cono, un cilindro o un par de planos.

Ecuaciones Reducidas de las Cuádricas:

Consideremos un cierto sistema de ejes y sea la cuádrica con ecuación:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + 2 b1 yz + 2 b2 xz + 2 b3 xy + 2 c1 x + 2 c2 y + 2 c3 z + d = 0.

Como «A» es una matriz simétrica diagonalizable, para una cierta transformación ortogonal cumplirá que:

• A = [λ1, 0, 0; 0, λ2, 0; 0, 0, λ3].

En estas nuevas coordenadas, la cuádrica se escribe como:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + 2 γ z’ + δ = 0.

.-Si ninguno de los autovalores es nulo:

Podemos hacer los cambios:

• x’ = x» – α / λ1.
• y’ = y» – β / λ2.
• z’ = z» – γ / λ3.

Con lo cual obtenemos:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + k = 0.

• M» = [k, 0, 0, 0; 0, λ1, 0, 0; 0, 0, λ2, 0; 0, 0, λ3].

• detM» = ρ^4 detM.
• detA» = ρ^3 detA.
• λ1 = ρ λ1.
• λ2 = ρ λ2.
• λ3 = ρ λ3.

Por lo tanto:

• ρ = 1.

, y obtenemos:

• k = detM / detA.

La ecuación reducida de la cuádrica es entonces:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + detM / detA = 0.

Y ésta será en general un hiperboloide, un elipsoide o un cono.

.-Supongamos que un Autovalor es Nulo:

Podemos tomar sin pérdida de generalidad:

• λ3 = 0.

Entonces la ecuación de la cuádrica es:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + 2 γ z’ + δ = 0.

Haciendo los cambios:

• x’ = x» – α / λ1.
• y’ = y» – β / λ2.
• z’ = z».

, obtenemos:

• λ1 (x»)^2 + λ2 (y»)^2 + 2 γ z» + k = 0.

Como para que sea una cuádrica:

• detM ≠ 0.

, vemos que la matriz M» es:

• [k, 0, 0, γ; 0, λ1, 0, 0; 0, 0, λ2, 0; γ, 0, 0, 0].

Tenemos:

• detM» = – γ^2 λ1 λ2 ≠ 0.

, y consecuentemente:

• γ ≠ 0.

, y podemos hacer el cambio:

• z» = z»’ – k / (2 γ).

, con lo cual obtenemos la ecuación:

• λ1 (x»’)^2 + λ2 (y»’)^2 + 2 γ z’ » = 0.

Podemos obtener «γ» en función de «detM», «λ1» y «λ2»:

• detM»’ = – ρ γ^2 λ1 λ2 = detM.
• λ1 = ρ λ1.
• λ2 = ρ λ2.

, por tanto:

• ρ = 1.

y despejamos «γ»:

• γ^2 = – detM / (λ1 λ2).
• γ = [- detM / (λ1 λ2)]^1/2.

, con lo que la ecuación reducida se escribe como:

• λ1 (x»’)^2 + λ2 (y»’)^2 + 2 [- detM / (λ1 λ2)]^1/2 z’ » = 0.

, y es un paraboloide elíptico o hiperbólico.