Conociendo ya la geometría del plano y del espacio, en esta entrada pretendo dar un salto más allá y analizar qué pasa con ciertas figuras cuando introducimos el parámetro tiempo en nuestras descripciones. A diferencia de sus geometrías precedentes, aquí nos encontraremos con la particularidad de que los tres ejes (x, y, z, t) no son equivalentes, y que denominaremos a las figuras de forma diferente  según dónde esté ubicado el parámetro «t» en la ecuación, es decir, la geometría espacio-temporal es una idea más compleja que la geometría de 4 dimensiones, si bien tienen varias cosas en común. Así pues, estructuraré esta entrada explicando las cosas según el modelo 4-D, y después aportando las restricciones de que la 4ª dimensión. El espacio sobre el que trabajaremos será euclidiano, por lo que despreciaremos cualquier posible efecto relativista.

Puntos y vectores en 4 dimensiones:

En analogía con los anteriores espacios, el punto «P» se representará en función de sus 4 parámetros (x, y, z, t), y todo vector «v» dependerá de sus cuatro componentes (vx, vy, vz, vt).

Recta en 4 dimensiones:

A partir de las anteriores definiciones, podemos describir nuestra primera figura geométrica del siguiente modo:

• P = P0 + λ v.

• P = (x, y, z, t).
• P0 = (x0, y0, z0, t0).
• v = (vx, vy, vz, vt).

, donde «λ» puede tomar cualquier valor real y «P0» representa un punto cualquiera de la recta.

En versión paramétrica, sus ecuaciones serían:

• x = x0 + λ vx.
• y = y0 + λ vy.
• z = z0 + λ vz.
• t = t0 + λ vt.

En continua:

• λ = (x – xo) / vx = (y – yo) / vy = (z – zo) / vz = (t – t0) / vt.

, también representable como:

• λ = Δx / vx = Δy / vy = Δz / vz = Δt / vt.

Punto en M.R.U.. Vector velocidad:

La recta «r» en 4 dimensiones antes descrita, si tiene un vector director «¬v» que cumpla:

• vz ≠ 0.

toma un único valor (x, y, z) para cada valor de «t», por lo que podemos considerarla, en analogía con el espacio en 3 dimensiones, un punto en movimiento.

Para ello, es más cómodo definir un cierto vector velocidad (vx, vy, vz, 1) equivalente, porque así, despejando de la ecuación continua antes vista:

• λ = Δt.

, y obtenemos:

• P = P0 + Δt v.

, que, en analogía con la cinemática clásica, representa un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) para un punto material, y cumple:

• x = x0 + vx Δt.
• y = y0 + vy Δt.
• z = z0 + vz Δt.
• t = t0 + Δt.

, verificando la última ecuación nuestra definición de «Δt».

Por último:

• Δt = Δx / vx = Δy / vy = Δz / vz.

Evidentemente, este enfoque de la recta de 4 dimensiones no tiene sentido en caso de que:

• vt = 0.

, pues toda ella estaría comprendida dentro de un único valor de «t», inmóvil.

Posición relativa de dos rectas de 4 Dimensiones:

Dadas dos rectas «r1» y «r2» 4-D:

• P1 = P01 + α v1.
• P2 = P02 + β v2.

Diremos que son paralelas si sus vectores lo son, es decir, si «α» toma algún valor tal que:

• α v1 = v2.

Si además de ésto, el punto «¬P02» pertenece a «r1», serán coincidentes:

• P01 + α v1 = P02.

En caso de que no sean paralelas, simplemente podrán cortarse o no. Si se cortan es trivial deducir el único punto de corte (x, y, z, t) que puden poseer, pues tiene que ser el único que tengan en común.

• x = x01 + α vx1 = x02 + β vx2.
• y = y01 + α vy1 = y02 + β vy2.
• z = z01 + α vz1 = z02 + β vz2.
• t = t01 + α vt1 = t02 + β vt2.

En caso de que el sistema tenga solución se cortan en ella. En caso contrario simplemente se cruzan, pero no llegan a chocar.

Movimiento Relativo de Dos Puntos en M.R.U:

Si, a partir del apartado anterior, queremos que nuestras rectas 4-D «r1» y «r2» sean ambas puntos en m.r.u., deben cumplir que:

• v1t ≠ 0.
• v2t ≠ 0.

, y por comodidad les impondremos:

• t01 = 0.
• t02 = 0.
• v1t = 1.
• v2t = 1.

Las dos primeras condiciones se cumplen tomando como puntos de origen «P01» y «P02» aquéllos ubicados en:

• t = 0.

para cada una. Es decir, no basta con poner un «0» en sus coordenadas de golpe. Para la segunda hay que dividir todas las componentes de los vectores dirección entre sus componentes «v1t» y «v2t» respectivamente.

Nos resultan así:

• (x, y, z, t) = (x01, y01, z01, 0) + Δt (v1x, v1y, v1z, 1).
• (x, y, z, t) = (x02, y02, z02, 0) + Δt (v2x, v2y, v2z, 1).

Estos cuerpos tomarán trayectorias paralelas si:

• Δt v1 = v2.

, y además serán coincidentes si:

• P01 = P02.

Si sus trayectorias no son paralelas pueden colisionar o no. Y si lo hacen tiene que existir un valor «Δt» en el que cumplan:

• x01 + v1x Δt = x02 + v2x Δt.
• y01 + v1y Δt = y02 + v2y Δt.
• z01 + v1z Δt = z02 + v2z Δt.

Plano en 4 Dimensiones:

Denominaremos plano 4-D «γ» al conjunto de puntos que cumplen la ecuación:

• P = P0 + α v + β w.

En paramétricas:

• x = xo + α vx + β wx.
• y = yo + α vy + β wy.
• z = zo + α vz + β wz.
• t = to + α vt + β wt.

Recta en M.R.U:

Esta vez las condiciones que impondremos sobre la ecuación serán más complejas. En primer lugar:

• t0 = 0.

, como hemos hecho hasta ahora. En segundo lugar, tan solo uno de los dos vectores «v» o «w» debe depender del tiempo, por lo que sin pérdida de generalidad impondremos:

• vt = 1.
• wt = 0.

La unión de estas dos condiciones sin alterar la ecuación original es bastante compleja, por lo que la explicaré paso a paso. En primer lugar debemos considerar el vector 3-D perpendicular a las  componentes (x, y, z) de los «v» y «w» originales a través del producto vectorial:

• l = (vy wz – vz wy, vx wz – vz wx, vx wy – vy wx) = (lx, ly, lz).

Depués denominar un nuevo vector:

• m = (wx – vx, wy – vy, wz – vz, 0) = (mx, my, mz, 0).

Y finalmente el vector producto vectorial de «l» y las componentes (x, y, z) de «m«:

• n = (ly mz – lz my, lx mz – lz mx, lx my – ly mx) = (nx, ny, nz).

Y fabricamos los nuevos vectores:

• v = m.
• w = (nx, ny, nz, 1).

Y nos resulta:

• P = P0 + λ v + Δt w.

Teniendo esta ecuación resulta evidente que para valores fijos de «Δt» la figura resultante es una recta, que se va desplazando con m.r.u. a lo largo del tiempo.

En caso de que inicialmente ya solo uno de los dos vectores dependa del tiempo tan solo hay que dejar la componente «t» del otro igual a «1», y en caso de que ninguno de ellos lo haga estariamos ante un simple plano estacionario de ecuaciones:

• (x, y, z) = (x0, y0, z0) + α (vx, vy, vz) + β (wx, wy, wz).
• t = t0.

Posición Relativa entre dos Planos de 4 Dimensiones:

Dados dos planos 4-D «γ1» y «γ2» genéricos:

• P1 = P01 + α v1 + β w1.
• P2 = P02 + δ v2 + ε w2.

Para que sean paralelos el subespacio generado por sus vectores debe tener dimensión dos. Es decir, que de entre los vectores «v1«, «v2«, «w1«, «w2» dos de ellos sean linealmente dependientes de los otros dos. Lo cual es equivalente a calcular el rango de la matriz:

• M = [v1x, v1y, v1z, v1t; v2x, v2y, v2z, v2t; w1x, w1y, w1z, w1t; w2x, w2y, w2z, w2t].

y comprobar que es igual a «2».

Si además de ser paralelas, el punto «P02» pertenece a «γ1»:

• P01 + α v1 + β w1 = P02.

para algún par de valores de «α» y «β» serán, además, coincidentes.

Si, en cambio, el rango de la matriz «M» es «3», los planos 4-D se podrán cortar en una recta 4-D, y en caso de que el rango sea «4», se cortarán en un punto que satisfaga:

• x = x01 + α v1x + β w1x = x02 + δ v2x + ε w2x.
• y = y01 + α v1y + β w1y = y02 + δ v2y + ε w2y.
• z = z01 + α v1z + β w1z = x02 + δ v2z + ε w2z.
• t = t01 + α v1t + β w1t = t02 + δ v2t + ε w2t.

, y sabemos que este sistema siempre puede tener solución porque estamos ante cuatro ecuaciones linealmente independientes de cuatro vectores. En caso de que el rango sea «3», como ya dijimos, el corte se producirá sobre una recta 4-D, pues estaremos ante un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y dependientes de tres vectores (el cuarto es combinación lineal de los anteriores).

Concluimos pues que, por muy antiintuitivo que sea, dos planos 4-D pueden intersecar en un punto, como veremos más detalladamente en el próximo apartado.

Por último, e intuitivamente, si el mencionado sistema de ecuaciones resulta incompatible, no poseerán puntos en común.

Movimiento Relativo de Dos Rectas en M.R.U:

Dadas dos rectas en m.r.u. «γ1» y «γ2»:

• P1 = P01 + d v1 + Δt w1.
• P2 = P02 + e v2 + Δt w2.

Serán paralelas si, para algún valor de «d» y «Δt», se cumple:

• d v1 = v2.
• Δt w1 = w2.

Si además:

• P01 + d v1 + Δt w1 = P02.

serán coincidentes.

Analicemos ahora los posibles cortes. En caso de que no sean paralelas generalmente se cortarán en un punto, pues barrerán dos planos sobre el espacio 3-D, que siempre intersecan según las ecuaciones antes vistas.

La única posibilidad de que dos rectas en m.r.u. intersequen en una recta es que ambas coincidan en algún espacio 3-D delimitado por un determinado tiempo «t», es decir, que sus vectores «v» sean linealmente dependientes, y que además, si prescindimos de ellos, los puntos en movimiento «r» y «s» determinados por:

• P1 = P01 + Δt w1.
• P2 = P02 + Δt w2.

converjan.

Movimiento Relativo de una Recta en M.R.U. Respecto a un Plano Estacionario:

Supongamos la recta en m.r.u. «r» y el plano estacionario «s» dados por las ecuaciones:

• P1 = P02 + e v1 + Δt w1.
• P2 = P02 + α v2 + β w2.

, donde obviamente «s» tiene un valor fijo del tiempo por definición.

Cuando se cumpla:

• t1 = t2.

recta y plano compartirán el mismo espacio y las leyes que rigen su intersección son las vistas en R^3.

Si las componentes (x, y, z) de «v1» son linealmente dependientes de las de los vectores «v2» y «w2» la «r» estará contenida en «s» durante el instante «t» mencionado, mientras que en caso contrario convergeran en un punto.

Espacio Generado por 3 Vectores de 4 Dimensiones:

Definimos como volumen 4-D «π» al conjunto de puntos que cumplen la ecuación:

• P = P0 + α u + β v + γ w.

, y como tiene una dimensión menos que la del espacio total, podemos definirlo a través de la ecuación normal con ayuda del vector «n» perpendicular a los tres vectores directores de «π». Ésto lo realizamos a través de un producto vectorial de 4 dimensiones, definido como el determinante de la matriz:

• [i, j, k, l; ux, uy, uz, ut; vx, vy, vz, vt; wx, wy, wz, wt].

, donde «l» es el vector unitario en la dirección tiempo. Se calcule como se calcule este determinante (según el orden de los vectores), el resultado siempre será el mismo, excepto tal vez un cambio de signo que no afecta, resultándonos:

• n = (nx, ny, nz, nt).

De modo que la ecuación normal nos resultará:

• nx x + ny y + nz z + nt t + k = 0.

, que por primera vez no es una ecuación vectorial. «k» es un escalar que se calcula de modo que el punto «P0» satisfaga la ecuación. Más concretamente, resulta sencillo representar esta ecuación como un producto escalar:

• n P + k = 0.

, donde «P» representa al conjunto de puntos que cumplen esa ecuación.

Plano en M.R.U:

Si a partir de la ecuación:

• P = P0 + α u + β v + γ w.

Imponemos las condiciones:

• t0 = 0.
• ut = 0.
• vt = 0.
• wt = 1.

a través de los métodos anteriormente vistos, obtenemos:

• P = P0 + d u + e v + Δt w.

, donde se aprecia que estamos ante la ecuación de un plano que se mueve con un m.r.u. a lo largo del tiempo.

No obstante, también es más cómodo representarlo a través de su ecuación normal, entre otras cosas porque siempre vamos a saber que existe, y nos permite saber con más antelación si depende del tiempo o no. Veamos algunos ejemplos:

• t = 0.

Es el conjunto de todos los puntos que  existen en el mencionado tiempo, es decir, no es un plano en m.r.u.

• x = 0.

Es el plano que foman entre los ejes «y» y «z», invariante a lo largo de todo el tiempo.

• x = t.

Es el plano antes mecionado desplazándose paralelamente al eje «x» de un modo directamente proporcional al tiempo.

Posición Relativa entre  Dos Planos en M.R.U. Redefinición de la Recta en M.R.U:

Dados dos planos en m.r.u. «π1» y «π2»:

• n1 P1 + k1 = 0.
• n2 P2 + k2 = 0.

Si:

• λ n1 = n2.

, son paralelos, pues sus vectores normales únicos son linealmente dependientes.

Si, además, dado un punto «P02» perteneciente a «π2», cumple:

• n1 P02 + k1 = 0.

serán coincidentes.

En caso de que no sean paralelos, por lo general se cortarán siempre en una recta en m.r.u., redefinida a través de las ecuaciones de ambos. Es decir, si «π1» y «π2» son linealmente independientes entre ellos, sus ecuaciones juntas definen una recta.

Asimismo, la intersección de tres planos en m.r.u. linealmente independientes define un punto en m.r.u., y la intersección de cuatro define un punto.

Ejemplos:

• t = 0.

• x = 0.

Nos encontramos ante un plano de 4-D sobre los ejes «x» e «y» en el tiempo origen.

• x = 0.

• y = 0.

Nos encontramos ante la recta que compone el eje «z», constante a lo largo del tiempo.

• x = 0.

• y = 0.

• z = 0.

Definimos aquí el origen de coordenadas a lo largo del tiempo.

Movimiento Relativo entre un Plano y una Recta en M.R.U. Redefinición del Punto en M.R.U:

Sean el plano en m.r.u. «π» y la recta en m.r.u. «γ»:

• n1 P1 + k1 = 0.

• n2 P2 + k2 = 0.
• n3 P3 + k3 = 0.

Si las tres ecuaciones son linealmente independientes se cortarán en un punto en m.r.u. definido entre las tres ecuaciones, mientras que si la primera es dependiente de alguna de las otras dos se cortarán en la propia recta «γ».

Veamos un ejemplo:

• x = t.

• x = 0.
• y = 0.

Estamos intersecando el plano perpendicular a «x» que se movia proporcionalmente a «t» con el eje «z» a lo largo del tiempo, antes definidos. Nos resulta el eje «z» en el tiempo inicial.

Movimiento Relativo entre un Plano y un Punto en M.R.U:

Sean el plano en m.r.u. «π» y el punto en m.r.u. «r»:

• n1 P1 + k1 = 0.

• n2 P2 + k2 = 0.
• n3 P3 + k3 = 0.
• n4 P4 + k4 = 0.

Si las cuatro ecuaciones son linealmente independientes se cortan en un punto, y en caso contrario se cortan en el propio punto en movimiento «r».

Veamos un ejemplo:

• z = 0.

• x = 0.
• y = 0.
• z = 0.

Estamos intersecando el plano formado por «y» y «z» a lo largo del tiempo con el origen de coordenadas a lo largo del tiempo. Se ve que la primera ecuación es dependiente de la cuarta, por lo que se intersecan en el origen a lo largo del tiempo.

Movimiento Relativo entre una Recta y un Punto en M.R.U:

Sean la recta en m.r.u. «γ» y el punto en m.r.u. «r»:

• n1 P1 + k1 = 0.
• n2 P2 + k2 = 0.

• n3 P3 + k3 = 0.
• n4 P4 + k4 = 0.
• n5 P5 + k5 = 0.

Como es imposible que cuatro ecuaciones sean linealmente independientes en un espacio 4-D, al menos una de ellas siempre será linealmente dependiente de las otra 4. Si solo una lo es, convergerán en un punto. Si lo son dos, se cortarán en el propio punto en movimiento.

Superficies Evolutivas:

Acabamos de definir el el plano en m.r.u. como una función de los parámetros (x, y, z, t) igualada a «0», pero la forma que adopta su ecuación no es más que un caso particular que la de este tipo de superficie cuando se mueve en m.r.u. Así pues, podemos generalizar la ecuación implícita dependiente de cuatro parámetros como la que define siempre algún tipo de superficie variando en el tiempo, es decir, evolucionando, de modo que toda superficie en movimiento «σ» se podrá definir como:

• σ(x, y, z, t) = 0.

Un plano con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) tomaría la forma:

• n P + (t + c)^2 = 0.

, donde «c» representa cualquier escalar constante.

Curvas Evolutivas:

Del mismo modo que la intersección de dos planos en m.r.u. engendraba una recta en m.r.u, la intersección de dos superficies evolutivas definirá una curva evolutiva «Φ», definida con las ecuaciones de las mismas:

• σ1(x, y, z, t) = 0.
• σ2(x, y, z, t) = 0.

Veremos ejemplos de esto en otra ocasión.

Superficies Evolutivas de Revolución:

.-Revolución de Primer Orden:

Decimos que una superficie evolutiva consta de una revolución de primer orden si dos de sus parámetros distintos de «t», como por ejemplo «x» e «y», cumplen:

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 = R^2.

para algún valor de «x0», «y0» y «R», es decir, si sobre que el plano que forman sus ejes la superficie siempre toma la forma de circunferencias.

.-Revolución de Segundo Orden:

Diremos, en analogía con lo anterior, que una superficie evolutiva consta de una revolución de segundo orden si siempre se cumple:

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 + (z – zo)^2 = R^2.

para algún valor de «x0», «y0», «z0» y «R», o dicho de otro modo, si posee forma esférica en todos los instantes de tiempo.

Superficies Evolutivas Cilíndricas:

Decimos que una superficie evolutiva «σ» es cilíndrica si, dada una curva evolutiva «Φ», definimos una dirección vectorial «v» y la aplicamos sobre todos y cada uno de sus puntos. Por ejemplo, si a la esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = 0.
• t = 0.

le obligamos a seguir «λ» veces el vector:

• v = (1, 1, 1, 1).

, nos estamos cargando la segunda ecuación de nuestra figura, que fijaba el tiempo, y pasa a ser una esfera en m.r.u., es decir, una superficie evolutiva con cualidades cilíndricas.

Todas las figuras (superficies, curvas, puntos) en m.r.u. son cilíndricas.

Superficies Evolutivas Cónicas:

Dada una curva evolutiva «Φ» y un punto «P» perteneciente o no a la misma. Definimos como superficie evolutiva cónica al conjunto de puntos «Q» que cumplen, para algún valor de «λ» y algún punto «O» de «Φ»:

• P + λ (O – Q) = Q.

Tomemos como ejemplo:

• P = (0, 0, 0, 0).

Φ:

• x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
• t = 0.

al origen de coordenadas y una esfera estacionaria que lo tenga por centro. Si pensamos en todos los puntos que están alineados con el origen pasando por nuestra esfera obtenemos todo el espacio:

• t = 0.

De modo que, en cierto modo, los espacios delimitados por un valor concreto de cualquiera de las componentes son superficies evolutivas cónicas.

Estudio General de las Cuádricas Evolutivas:

De modo análogo a como acontecía en R^2 y en R^3, todas las curvas cuádricas evolutivas estarán definidas por ecuaciones del estilo:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + a4 t^2 + b12 z t + b13 y t + b14 y z + b23 x t + b24 x z + b34 x y + c1 x + c2 y + c3 z + c4 t + d = 0.

Matricialmente:

• Pt M P = 0.

, donde «t» representa matriz traspuesta, y:

• P = [1; x; y; z; t].
• M = [d, c1, c2, c3, c4; c1, a1, b34, b24, b23; c2, b34, a2, b14, b13; c3, b24, b14, a3, b12; c4, b23, b13, b12, a4].

En general, siempre exigiremos que, para que la ecuación ciertamente represente una cuádrica evolutiva, cumpla:

• detM ≠ 0.

Una vez sepamos esto, definimos la matriz de términos cuadráticos:

• A = [a1, b34, b24, b23; b34, a2, b14, b13; b24, b14, a3, b12; b23, b13, b12, a4].

Y calculamos sus cuatro autovalores «λ1», «λ2», «λ3», «λ4», de los cuales a lo sumo uno de ellos será nulo. En caso de que ninguno de ellos lo sea, tal y como pasaba en anteriores dimensiones, nos encontramos ante una cuádrica evolutiva de ecuación:

• λ1 x^2 + λ2 y^2 + λ3 z^2 + λ4 t^2 + detM / detA = 0.

En caso de que uno de ellos lo sea, pongamos por ejemplo «λ4», nos resulta:

• λ1 x^2 + λ2 y^2 + λ3 z^2 + 2 [- detM / (λ1 λ2 λ3)]^1/2 z = 0.

Pero estas cuádricas son genéricas para un espacio extrañamente simétrico de 4-D. Nosotros queremos que la cuarta dimensión sea el tiempo para darle sentido físico, de modo que, para las anteriores ecuaciones, no solo será interesante saber dónde está ubicado el tiempo, sino que además habrá que analizar su signo. Veamos los 18 casos posibles.

En las próximas explicaciones, despreciaremos la posible existencia de términos constantes innecesarias que, si bien nos proporcionarían más generalidad, oscurecerían la visión de las figuras descritas, que es el verdadero objetivo. Consecuentemente, todas las figuras poseerán algún grado de revolución.

Elipsoide Evolutivo Creciente:

• x^2 + y^2 + z^2 = t.

Dada su revolución de 2º grado, estamos ante una esfera cuyo radio aumenta de la forma:

• R = t^1/2.

Así pues, obtenemos una representación de cómo el origen de coordenadas se va dilatando esféricamente hasta el infinito.

Elipsoide Evolutivo Decreciente:

• x^2 + y^2 + z^2 = – t.

En esta ocasión, el elipsoide solo está definido para valores negativos del tiempo, es decir, precedentes al origen. Nos encontramos ante el caso opuesto al de antes: una esfera infinita se comprime hasta ser un punto, el origen de coordenadas.

Elipsoide Evolutivo Cóncavo:

• x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 1.

Dada su forma, podemos introducir el concepto de revolución de 3er grado. Si escribimos esto de un modo más claro:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1 – t^2.

, apreciamos que el radio de nuestra esfera se comprime con el valor absoluto del tiempo, de modo que alcanza un radio máximo en el tiempo inicial. Nos encontramos ante el origen de coordenadas, que en:

• t = – 1.

comenzó a dilatarse esféricamente, alcanzando un radio:

• R = 1.

en el instante:

• t = 0.

para volver a su condición de punto en el instante:

• t = 1.

Elipsoide Evolutivo Convexo:

• x^2 + y^2 + z^2 – t^2 = 1.

De un modo más claro:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1 + t^2.

Estamos ante una esfera de radio infinito en sus orígenes, que en el instante:

• t = 0.

se ha comprimido a una esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1.

, para posteriormente se ha vuelto a dilatar hasta alcanzar de nuevo un radio infinito.

Elipsoide Evolutivo Imaginario:

• x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = – 1.

La suma de números cuadrados nunca puede ser negativa, por lo que esta ecuación no toma valores reales.

Elipsoide Evolutivo Fraccionado.

• x^2 + y^2 + z^2 – t^2 = – 1.

Reordenando:

• x^2 + y^2 + z^2 =  t^2 – 1.

De nuevo estamos ante una esfera de radio infinito que se contrae y se vuelve a expandir, pero en esta ocasión en los instantes:

• t = – 1.
• t = 1.

se cumple que:

• R = 0.

, de modo que en el intervalo (-1, 1) no está definida. La consideramos fraccionada por este periodo de tiempo en el que su radio se contrae más de lo físicamente posible, haciéndola desaparecer hasta que crece de nuevo.

Hiperboloide Evolutivo de 2 Hojas:

• x^2 + y^2 + t^2 – z^2 = – 1.

Expresado de otro modo:

• x^2 + y^2 – z^2 = – 1 – t^2.

Dado que la parte derecha de la ecuación es negativa, el hiperboloide siempre será de 2 hojas, y comienza y acaba en su forma límite, que es formando dos planos infinitos en la base y en el techo del espacio 3-D. Por el medio del tiempo se va aproximando a su forma más conocida, achatándose y tendiendo a un cono hasta:

• t = 0.

, para después crecer de nuevo y retomar su forma original.

Hiperboloide Evolutivo de 1 Hoja:

• x^2 + y^2 – z^2 – t^2 = 1.

O dicho de otro modo:

• x^2 + y^2 – z^2 = 1 + t^2.

Como la parte derecha siempre es positiva, siempre estaremos ante un hiperboloide de 1 hoja, que comienza siendo un cilindro de radio infinito, para después achatarse por el centro, tendiendo a formar un cono hasta:

• t = o.

, momento en el que vuelve a expandirse.

Hiperboloide Evolutivo Creciente:

• x^2 + y^2 – z^2 = t.

Observamos que, en un principio, a medida que «t» es negativo y se va aproximando al «0», estamos ante un hiperboloide evolutivo de 2 hojas con una evolución más lineal. Sin embargo, en esta ocasión, cuando:

• t = 0.

llega a ser un cono, y no recupera su forma original, sino que el cono se transforma a en un hiperboloide evolutivo de 1 hoja que acabará siendo un cilindro de radio infinito.

Hiperboloide Evolutivo Decreciente:

• x^2 + y^2 – z^2 = – t.

Estamos ante el mismo caso que antes, solo que en esta ocasión comienza siendo un  hiperboloide evolutivo de 1 hoja y acaba siendo un 2 hojas.

Hiperboloide Evolutivo Centrado en 2 Hojas:

• x^2 + y^2 – z^2 – t^2 = -1.

También expresable como:

• x^2 + y^2 – z^2 = -1 + t^2.

En analogía con el hiperboloide evolutivo de 1 hoja, el término de la derecha es casi siempre positivo, y por tanto podemos compararlos, con la particularidad de que esta vez en los valores:

• t = – 1.
• t = 1.

llega a ser un cono, y en el intervalo (-1, 1) es un 2 hojas que se infla un poco para deshacerse de nuevo y dar lugar al 1 hoja original.

Hiperboloide Evolutivo Centrado en 1 Hoja:

• x^2 + y^2 + t^2 – z^2 = 1.

Enunciable mejor como:

• x^2 + y^2 – z^2 = 1 – t^2.

Comparándolo con el anterior, el término de la derecha es casi siempre evolutivo, y podemos asumir que se comporta exactamente igual cambiando en todo momento «2 hojas» por «1 hoja» y viceversa.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Creciente 1:

• x^2 + y^2 + t^2 = z.

De un modo más claro:

• x^2 + y^2 = z – t^2.

El paraboloide solo está definido para valores positivos del miembro derecho de la ecuación, por lo que a medida que aumenta el valor absoluto del tiempo el vértice del paraboloide se eleva a:

• z = t^2.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Decreciente 1:

• x^2 + y^2 + t^2 = – z.

Enunciable como:

• x^2 + y^2 = – z – t^2.

Debido a que el segundo miembro siempre tiene que ser positivo para que esté definido, el vértice del paraboloide se encontrará en todo momento en:

• z = – t^2.

, e irá descendiendo o ascendiendo acorde con ello. Este paraboloide está curvado hacia abajo, mientras que el anterior lo estaba hacia arriba.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Creciente 2:

• x^2 + y^2 – t^2 = z.

Operando:

• x^2 + y^2 = z + t^2.

El vértice de este paraboloide estará ubicado en:

• z = – t^2.

, ascendiendo.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Decreciente 2:

• x^2 + y^2 – t^2 =  – z.

Haciendo el cambio pertinente:

• x^2 + y^2 =  – z + t^2.

Tenemos el vértice ubicado en:

• z = t^2.

, descendiendo.

Paraboloide Evolutivo Hiperbólico Creciente:

• x^2 + t^2 – y^2 = z.

El punto de silla de la figura se encuentra en:

• z = t^2.

, ascendiendo con el valor absoluto del tiempo.

Paraboloide Evolutivo Hiperbólico Decreciente:

• x^2 + t^2 – y^2 = – z.

Tenemos un punto de silla descendiente en:

• z = – t^2.