Cuando vimos la teoría de superficies expliqué que había un montón de parametrizaciones distintas para la esfera, y que todas ellas eran frecuentemente usadas. Veremos en esta entrada la esfera tiene un punto más que el plano infinito gracias a la proyección estereográfica del plano complejo, que asocia a cada número complejo «z» un punto de la esfera, quedando todos ellos en relación 1-1, a excepción del polo norte, que quedará excluido.

A diferencia de la imagen que he puesto, nosotros consideraremos que el plano complejo corta a la esfera por el ecuador, de forma que si consideramos la esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = R^2.

, la circunferencia:

• x^2 + y^2 = R^2.
• z = 0.

estará contenida ya en el plano.

Parametrizaremos nuestra esfera según la variación de las coordenadas esféricas que usé en superficies:

• s = R (Cosφ Cosσ, Cosφ Senσ, Senφ).

Asimismo, el plano complejo lo parametrizaremos según el módulo de los números complejos y su fase:

• p = |z| (Cosσ, Senσ, 0).

, ¡de modo que los ángulos «σ» de cada una de las parametrizaciones son exactamente idénticos! Por tanto, sólo tenemos que encontrar una relación entre el ángulo de elevación de la esfera «φ» y el módulo del número complejo sobre el cual se va a proyectar «|z|».

Expliquemos, pues, en qué va a consistir nuestra parametrización. La proyección estereográfica es la que une el polo norte:

• N = R (0, 0, 1).

con el resto de los puntos de la esfera formando una recta con vector director:

• v = P – N = R (Cosφ Cosσ, Cosφ Senσ, Senφ) – R (0, 0, 1).
• v = R (Cosφ Cosσ, Cosφ Senσ, Senφ – 1).

, de modo que nos queda:

• r = R (0, 0, 1) + R t (Cosφ Cosσ, Cosφ Senσ, Senφ – 1).
• r = R (t Cosφ Cosσ, t Cosφ Senσ, t Senφ – t + 1).

Y queremos saber cuándo corta a nuestro plano complejo, es decir, cuándo la tercera componente se anula:

• t Senφ – t + 1 = 0.
• t (Senφ – 1) = -1.
• t = 1 / (1 – Senφ).

Veamos cómo afecta ésto a nuestras componentes:

• t Cosφ Cosσ = Cosφ Cosσ / (1 – Senφ).
• t Cosφ Senσ = Cosφ Senσ / (1 – Senφ).
• t Senφ – t + 1 = Senφ / (1 – Senφ) – 1 / (1 – Senφ) + 1.
• t Senφ – t + 1 = (Senφ – 1 + 1 – Senφ) / (1 – Senφ) = 0.

, de modo que el punto de corte siempre será:

• C = R Cosφ / (1 – Senφ) (Cosσ, Senσ, 0).

, y en analogía con el plano complejo, se debe cumplir:

• |z| = R Cosφ / (1 – Senφ).

Nos falta, pues, conocer el valor de «φ» según «|z|»:

• |z| = R (1 – (Senφ)^2)^(1/2) / (1 – Senφ).
• |z| (1 – Senφ) = R (1 – (Senφ)^2)^(1/2).
• |z|^2 (1 + (Senφ)^2 – 2 Senφ) = R^2 (1 – (Senφ)^2).
• |z|^2 + |z|^2 (Senφ)^2 – 2 |z|^2 Senφ = R^2 – R^2 (Senφ)^2.
• (Senφ)^2 (|z|^2 + R^2) – Senφ (2 |z|^2) + |z|^2 – R^2 = 0.
• Senφ = (2 |z|^2 ± (4 |z|^4 – 4 |z|^4 + 4 R^4)^(1/2)) / (2 (|z|^2 + R^2)).
• Senφ = (2 |z|^2 ± 2 R^2) / (2 (|z|^2 + R^2)).
• Senφ = (|z|^2 ± R^2) / (|z|^2 + R^2).

Como hemos resuelto una ecuación de segundo grado, tenemos dos soluciones, a saber, el polo norte, con:

• Senφ = (|z|^2 + R^2) / (|z|^2 + R^2).
• Senφ = 1.
• φ = π / 2.

, o la que buscamos nosotros:

• Senφ = (|z|^2 – R^2) / (|z|^2 + R^2).
• φ = Arcosen((|z|^2 – R^2) / (|z|^2 + R^2)).

Veamos entonces cómo queda parametrizada nuestra esfera:

• s = R (Cosφ Cosσ, Cosφ Senσ, Senφ).
• Senφ = (|z|^2 – R^2) / (|z|^2 + R^2).
• Cosφ = (1 – (Senφ)^2)^(1/2).
• (Senφ)^2 = (|z|^4 + R^4 – 2 |z|^2 R^2) / (|z|^2 + R^2)^2.
• 1 – (Senφ)^2 = ((|z|^2 + R^2)^2 – |z|^4 + R^4 – 2 |z|^2 R^2) / (|z|^2 + R^2)^2.
• (|z|^2 + R^2)^2 = |z|^4 + R^4 + 2 |z|^2 R^2.
• 1 – (Senφ)^2 = 4 |z|^2 R^2 / (|z|^2 + R^2)^2.
• Cosφ = (1 – (Senφ)^2)^(1/2) = 2 |z| R / (|z|^2 + R^2).
• s = R / (|z|^2 + R^2) (2 |z| R Cosσ, 2 |z| R Senσ, |z|^2 – R^2).

Por último, comprobemos de dos formas que el polo norte «N» no está contenido en nuestra parametrización. En primer lugar veamos qué pasa si forzamos la igualdad:

• P = R / (|z|^2 + R^2) (2 |z| R Cosσ, 2 |z| R Senσ, |z|^2 – R^2) = R (0, 0, 1).

Como nuestras únicas variable son «|z|», que puede ser positivo o nulo, y el seno y el coseno de «σ», que no se pueden anular a la vez, la única posibilidad de que se cumpla:

• 2 |z| R Cosσ = 2 |z| R Senσ = 0.

es:

• |z| = 0.

De donde nos queda:

• P = 1 / R (0, 0, – R^2) = – R (0, 0, 1).

, es decir, el polo sur y no el polo norte.

Podemos también plantearlo al revés, buscando el valor de «|z|» para:

• φ = π / 2.

A partir de la igualdad ya obtenida:

• |z| = R Cosφ / (1 – Senφ) = 0 / 0.

Como llegamos a una indeterminación, aplicamos la regla de L’Hôpital:

• |z| = (d(R Cosφ) / dφ) / (d(1 – Senφ) / dφ) = R Senφ / Cosφ = 1 / 0 = + ∞.

Conclusión: para que un número complejo resulte estar asociado al polo norte de nuestra esfera, ¡su módulo debe ser infinito! Éste es un límite inalcanzable, y por tanto la esfera tiene un punto más que todo el plano complejo en sí.