Ecuaciones de Hamilton o del Puente de Brougham, números hipercomplejos, cuaterniones, sustitución del vector ordinario por el cuadrivector, introducción a los tensores tiempo-espacio y energía-momento.

Cuenta la historia que estaba Hamilton paseando con su mujer por el puente de Brougham pensando en un nuevo modelo matemático para describir el espacio cuando le llegó la inspiración y, no teniendo ningún sitio mejor donde apuntar, gravó las ecuaciones que se le ocurrieron sobre el propio puente (aunque hoy en día, según tengo entendido, ya no se aprecian):

  • i^2 = j^2 = k^2 = i j k = – 1.

Los números constantes “i”, “j” y “k” que aparecen en ellas son los números hipercomplejos, denominados así porque el cuadrado de todos ellos es “- 1” pero no son iguales entre si, y de hecho de las anteriores ecuaciones se deduce:

  • i j = – j i = k.
  • j k = – k j = i.
  • k i = – i k = j.

Obviamente, la primera propiedad interesante de los hipercomplejos es que no son conmutativos, es decir, el orden de factores sí altera el producto en un signo. Definimos pues, como cuaternión, al elemento “q” de la forma:

  • q = a i + b j + c k + d.

, de modo que dados “q1” y “q2” se cumplen las siguientes operaciones:

  • q1 + q2 = (a1 + a2) i + (b1 + b2) j + (c1 + c2) k + (d1 + d2).
  • q1 q2 = a1 a2 i^2 + a1 b2 i j + a1 c2 i k + a1 d2 i + b1 a2 j i + b1 b2 j^2 + ….

, teniendo en cuenta que los productos cruzados entre hipercomplejos se transforman según acabamos de ver.

Ahora bien, el lector curioso habrá apreciado que el nombre de nuestros números “i”, “j” y “k” se corresponden uno a uno con los vectores unitarios del 3-espacio euclídeo. La cuestión es ¿de veras pueden sustituirlos? Pensemos en el vector:

  • v = vx i + vy j + vz k.

como si fuese el cuaternión:

  • v = vx i + vy j + vz k.

, la suma de cuaterniones ya hemos visto que es idéntica a la suma de vectores, pues tendríamos:

  • v + w = (vx + wx) i + (vy + wy) j + (vz + wz) k.

En cambio, el producto, sería un tanto más extraño:

  • v w = (vy wz – vz wy) i + (vz wx – vx wz) j + (vx wy – vy wx) k – (vx wx + vy wy + vz wz).

(A éste resultado llegamos simplemente haciendo las cuentas [no lo he puesto paso por paso porque excedía de tamaño]). Ahora bien, ¿nos sirve ésto de algo? Si nos fijamos bien, ¡el producto de nuestros dos vectores 3-dimensionales en forma cuaterniónica no es nada menos que el producto vectorial de los mismos menos el producto escalar! En una sola cuenta (algo más larga de lo deseable) hemos obtenido los dos tipos de producto de un vector. O dicho de otra forma, con los vectores “v” y “w“, al pasarlos a forma cuaterniónica y multiplicarlos, hemos obtenido el cuaternión:

  • p = nx i + ny j + nz k – u v.

, donde “nx”, “ny” y “nz” son las componentes del producto vectorial:

  • n = u Λ v.

Todo ésto lo podemos expresar como un único cuadrivector:

  • p = (- u v, nx i, ny j, nz k).

, de módulo:

  • |p|^2 = (u v)^2 – |n|^2.

Si nos fijamos, la diferencia entre el cuadrivector y el vector 4-dimensional es que al cuadrivector lo interpretamos como la unión de 3 componentes vectoriales de dirección en el 3-espacio y la 4ª como un escalar relacionado con ellas (en este caso, el producto vectorial y el producto escalar).

Ésta construcción es extremadamente importante para un físico, pues podemos construír así los tensores tiempo-espacio y energía-momento (aunque serán debidamente explicados en entradas posteriores):

  • tr = (t, rx i, ry j, rz k).
  • |te|^2 = t^2 – |r|^2.
  • Ep = (E, px i, py j, pz k).
  • |Ep|^2 = E^2 – |p|^2.
Comments
2 Responses to “Ecuaciones de Hamilton o del Puente de Brougham, números hipercomplejos, cuaterniones, sustitución del vector ordinario por el cuadrivector, introducción a los tensores tiempo-espacio y energía-momento.”
  1. José dice:

    Gracias, ahora ya se más o menos para qué se utilizan los cuaterniones pero tengo una duda: ¿qué pasa con los octoniones y los sedeniones?, ¿sirven de algo?

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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