Principio de covarianza: derivada covariante y ejemplos de ecuaciones tensoriales

En la última entrada concluimos con el último elemento necesario que nos faltaba en la teoría de tensores, el símbolo de Levi-Civita. La cuestión es: ¿para qué nos sirve ahora todo esto? Como ya comenté hace algunas entradas, el objetivo es entrar de lleno en la teoría especial de la relatividad con un formalismo matemático con el que nunca ha aparecido en este blog.

En la entrada de hoy, comenzaremos a ver la notación tensorial en la práctica, rememorando ecuaciones ya conocidas. Pero antes de eso, enunciaremos el principio de la covarianza, que si bien es bastante intuitivo, no lo hemos dicho explícitamente.

Principio de Covarianza:

Las leyes de la física deben ser independientes del sistema de referencia de su observador, y por tanto, en toda ecuación que aspire a ser una ley, ambos miembros deberán transformarse del mismo modo frente a cambios de coordenadas.

O dicho de otro modo: si en el primer miembro de una ecuación tenemos un tensor o densidad tensorial 3-2 de “N” grados de libertad, en el segundo miembro tendremos que tener otro de las mismas características.

Si este principio no se cumpliese, y una ley de la física no fuese covariante en sus miembros, la aceleración debida a la gravedad sería distinta para un observador en el polo norte que para uno en el ecuador.

Un claro ejemplo de la absurdez de ignorar la covarianza sería decir, por ejemplo, que el módulo de un vector es igual a la primera componente del mismo. El módulo, la longitud de un vector, es un escalar definido como la raíz del producto escalar de éste consigo mismo:

, y por tanto es invariante frente a cambios de coordenadas. En cambio, la primera componente de un vector es variante (se transforma covariante o contravariantemente, según la base), y por tanto, la ecuación propuesta dependería del observador. ¡La longitud de un segmento dependería de desde dónde lo mirases!

Gradiente Covariante:

Si recordamos la teoría de campos, el operador “nabla” representaba un vector de derivadas parciales, que en notación tensorial también se transformará según una métrica, cumpliendo las cuatro ecuaciones fundamentales del tensor de rango 1, a saber:

Una propiedad interesante del gradiente, es que no es comutativo, y por tanto:

, ya que el segundo miembro, según la teoría de campos, es el gradiente del vector “A“:

, y el primero es el gradiente, multiplicado por los coeficientes del vector “A“:

, que necesita multiplicar a algo para tener sentido, es el operador derivada direccional (indica la derivada del elemento sobre el que se aplique en la dirección del vector “A“). Aunque aún no hemos visto nada de operadores, básicamente son elementos que necesitan actuar sobre algo para tener sentido, igual que las funciones.

Ejemplos:

La energía cinética, que definíamos como:

, podemos reescribirla como:

La fuerza, que surgía como oposición al gradiente de un campo escalar de la energía potencial:

, pasa a ser:

El Laplaciano, que surgía en la ecuación de Laplace de la forma:

, ahora será:

Y el rotacional del rotacional, que definiríamos como:

, en la entrada anterior, con el símbolo de Levi-Civita, vimos que se transformaba en:

Tensorialmente:

Como se puede apreciar, cuando las ecuaciones incluyen al símbolo de Levi-Civita, la elegancia de la notación tensorial pasa a ser una incomodidad y es preferible la vectorial, si bien con la vectorial nos habría sido más difícil demostrar la igualdad en la entrada anterior.

La conclusión es que, al menos por ahora, los tensores son idóneos para demostrar propiedades y cantidades invariantes, pero no para la claridad de las expresiones.

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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