Entre dominios y demostraciones

Hoy la clase ha estado dividida en dos partes (como aparentemente estará dividida las dos semanas que dura).

En la primera, nos han mostrado algunas demostraciones de mayor o menor curiosidad.

La primera ha sido la siguiente:

Probar que

Para probar esto, tendremos que reducir el problema a dos vectores, uno “v” de coordenadas (a, b, c), y otro “w” de coordenadas (b, c, a). El producto escalar de ellos sería:

, y como Cosα solo puede tomar valores entre “0” y “1”, se cumple que:

, y desarrollado:

Tesis demostrada.

Otra forma de resolverlos sería plantear que los tres números cumplirán obligatoriamente la siguiente condición:

Si dividimos la tesis entre a^2:

Ahora presentemos las igualdades:

Se cumple:

Pasamos todo a un miembro y agrupamos:

Como todos los elementos del segundo miembro van a ser positivos por definición, y la ecuación es equivalente a la tesis, ésta queda demostrada.

Reducción al absurdo

Si sabemos que un elemento A implica otro elemento B, es de suponer que si no se da B, tampoco se da A.

Aplicaciones:

Queremos demostrar que si el cuadrado de un número entero es positivo y  par, su raíz también lo tiene que ser. Matemáticamente, esto es imposible, por lo que reducimos al absurdo. Si elevamos al cuadrado un número impar, por definición éste también será impar, y por tanto si no lo es es porque es par.

Aplicaciones

Se denomina como aplicación la relación entre un determinado dominio y la imagen de cada uno de sus valores, como por ejemplo ƒ(x) = 2 x + 5

Se considera que dos aplicaciones son inyectivas cuando cada elemento del dominio tiene su propia imagen personal, es decir, cuando al ser “x1” y “x2” direfentes, ƒ(x1) y ƒ(x2) también lo son.

Para comprobar si una aplicación es inyectiva le hacemos la sieguiente pregunta:

Si ƒ(x1) y ƒ(x2) son iguales, ¿también lo son x1 y x2? Comprobémoslo con la aplicación anterior: ¿2 x1 + 5 = 2 x2 + 5? Restamos cinco en los dos miembros y dividimos por 2, obteniendo que, efectivamente x1 = x2.

Inducción matemática

Es algo simple, consiste en demostrar que en una sucesión infinita en el conjunto de los números naturales, si algo se cumple para el primer término, para un término “n”, y para un término “n + 1”, se cumple para todos los demás. (Hoy demostramos que si un número acaba en 6, su cuadrado siempre va a cabar en 6 [con la sucesión an = 6^n]).

Recordemos que para la función [(2 – x)^2]½ la raíz no se simplifica en intervalos negativos de “(2 – x)”

En las egunda parte de la clase hemos hecho algo de análisis funcional cuyos ejercicios omitiré

Intervalos

Se definen como intervalos conjuntos de números, y se delimitan indicando entre paréntesis el primer y el último extremo del intervalo, poniéndolos entre corchetes si estuviesen incluidos en el intervalo.

Funciones

Una función de variable real es cualquier correspondencia entre un subconjunto A de numeros reales (R), al que cada valor de x se le asigna un único valor real. A sería el dominio de la función, o dicho de otro modo, el intervalo de número reales que tienen imagen en la misma.

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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