¿Realmente es esto lo que queremos enseñar?

Cuando los estudiantes de física llegan al segundo curso, en la asignatura de Mecánica (o análogas) se le enseña una forma completamente nueva de plantear los problemas «de toda la vida»: la mecánica analítica de Lagrange.

En la mecánica de Newton sobre los cuerpos actúan fuerzas con dirección y sentido, y es necesario hacer sumas de vectores y cálculos de ángulos para saber cómo se moverá un cuerpo conociendo todas las fuerzas que actúan sobre este. Por el contrario, en la mecánica de Lagrange no hace falta trabajar con vectores prácticamente. Así pues, mientras que la primera requiere hacer cuentas empleando objetos matemáticos de entre 1 y 3 componentes (vectores), en la mecánica lagrangiana siempre se trabaja con objetos matemáticos más sencillos. Al menos al principio, claro.

Cuando a uno le es revelado este hecho, puede que inmediatamente se haga esta pregunta: «¿por qué no me enseñaron esto en la ESO en vez del modelo de Newton si es mucho más sencillo?». Yo no sé si me la habría hecho o no, dado que lo comentó nuestro profesor ya inmediatamente.

Pero esa pregunta, así tal cual, puede encerrar una cuestión de vital importancia, no para la ciencia, sino para los estudiantes que tienen que tratar con las asignaturas de física en los institutos. ¿Estamos privándoles de una comprensión más sencilla y directa de la física? ¿Tiene alguna justificación que se de preferencia al enfoque vectorial teniendo ahí el lagrangiano? Y si la tiene, ¿merece la pena?

Escribo esta entrada para tratar estas cuestiones. Lo que he pensado sobre ellas y lo que como profesor de varios chavales a lo largo de mi vida he visto.

¿Tiene un alumno de ESO nivel suficiente de matemáticas para comprender las ecuaciones de Lagrange?

Obviamente no, puesto que requieren del concepto de derivadas, y no de una forma sencilla que se pueda explicar a alguien en 10 minutos. Entender por qué la mecánica lagrangiana funciona supone un gran dominio del análisis matemático. De hecho tengo la certeza de que mucha gente acaba la carrera sin saber demostrarla.

Además, aún en el hipotético caso de plantearse usar las ecuaciones de Lagrange sin justificarlas, seguiría estando el problema de que a derivar se enseña en bachiller en el sistema educativo actual. Tengo evidencias de que podría adelantarse, al menos en el caso de los polinomios, pero eso lo dejaré para otra ocasión.

Así que si no podemos enseñar a un alumno de ESO por qué la mecánica analítica funciona ni a usar las ecuaciones de Lagrange, puede parecer que la idea debería quedarse ahí y que no procede avanzar. Tal vez sea el caso, pero merece la pena ir un poco más allá.

¿Puede un alumno de ESO comprender alguna o varias de las conclusiones de Lagrange?

Aquí la respuesta es un rotundo «sí».

En el temario de la ESO siempre hay temas sobre energía y termodinámica. Otra cosa es que sea demasiado frecuente (no conozco apenas casos contrarios) que nunca se den porque son la última parte de física y se suelen centrar más en química. No obstante, ahí se condensa un montón de información importante.

Un alumno de ESO debería acabar conociendo los conceptos de energía cinética, energía potencial y energía mecánica. La cinética está asociada al movimiento de un cuerpo. La potencial a todo lo que influye sobre él, teniendo por ejemplo la energía potencial gravitatoria, la elástica, la electrostática… La energía mecánica, la suma de ambas, siempre se conserva si el cuerpo está aislado. Esto es fácil de explicar y de entender. Incluso con cuentas. Mucho más fácil que las ecuaciones vectoriales de Newton, de hecho.

Con estos conceptos se puede hacer que el alumno conteste todo tipo de preguntas de forma sencilla aplicando la conservación de la energía. Por ejemplo: «Si suelto una piedra desde 100 m de altura y la dejo caer hasta abajo, ¿con qué velocidad llega?», «Si estiro este muelle 1 cm y lo suelo, ¿con qué velocidad recupera su extremo de 2 g la posición original?» o «¿Cuál será la altura máxima que alcanzará este bolígrafo si lo lanzo hacia arriba con una velocidad de 2 m/s?».

Si además se añade el concepto de calor y rendimiento, ya se pueden hacer problemas sobre rozamiento y aceleraciones. Por ejemplo: «Un coche parte del reposo con una potencia de 75 caballos de vapor y se acelera durante 5 segundos con un rendimiento del 90%, ¿qué velocidad alcanza? ¿Cuánta energía se ha perdido en hacer frente al rozamiento?».

Incluso, dado que en la ESO y bachiller siempre se trabaja con fuerzas de rozamiento constantes, se puede definir su energía potencial de rozamiento en cierto modo.

Todo esto, como digo, se puede hacer con los conceptos que se dan en la ESO, aunque sea raro o directamente no suceda nunca. No es una opinión. Lo he comprobado como para estar convencido. Y no hace falta salirse de temario. Solo cambiar la forma de explicarlo. Y a los alumnos les resulta mucho más fácil porque no tienen que usar la entonces apática ecuación del movimiento uniformemente acelerado para aprender cosas.

Los chavales suelen aprender que la física es resolver sistemas de ecuaciones de movimiento y no quedarse con conceptos. Este enfoque de la misma se carga completamente esa situación.

A partir de ahí, no lleva ni un cuarto o quinto de clase resumir varias conclusiones importantísimas de Lagrange:

• Los cuerpos escapan de la energía potencial: las piedras caen porque pierden energía gravitatoria, los muelles vuelven a su estado original porque pierden energía elástica, las cargas iguales se repelen porque pierden energía electrostática…
• La energía mecánica se conserva siempre que no aparezca ningún factor externo que aporte energía dependiente del tiempo.
• Los cuerpos no producen variaciones en su movimiento en direcciones en las que no haya variación en la energía potencial.

Todo esto no solo incluye las leyes de Newton, sino que les da un enfoque más global. En efecto, la tercera oración reproduce la ley de la inercia, y la primera es la forma sencilla de explicar la segunda ley de Newton, más conocida (por desgracia, tal vez) como F=m*a.

El enfoque de Lagrange no solo es más sencillo sino que además «tiene que serlo» desde un punto de vista de que el ser humano intenta evitar complicarse la vida. Newton publicó sus leyes en 1687. Lagrange publicó su mecánica analítica unos 100 años después, en 1788. Sería muy estúpido por su parte matarse en desarrollar algo más complicado para explicar lo mismo. Obviamente no fue el caso.

¿Realmente se explicaría lo mismo?

Tal vez en la sección anterior alguno se haya quedado con ganas de señalar con el dedo y dejarme un comentario preguntando si no me he dado cuenta de que me olvido de algo muy importante que no se puede explicar con energías sin usar derivadas y por tanto salirse de temario. En efecto, me refiero a cualquier pregunta sobre un sistema que involucre al tiempo si no se da la potencia.

He pensado mucho en esto y en la posibilidad de poner como axiomas la potencia gravitatoria, la elástica y demás, pero lo cierto es que es una locura intentar convencerse de que merece la pena hacer sufrir a un alumno con eso cuando más adelante no le va a servir de nada. Así que mi opinión es que en la ESO, al menos mientras esta no incluya derivadas, es necesario que para preguntas temporales las leyes de Newton y la ecuación del movimiento uniformemente acelerado complementen  a lo mencionado arriba.

En todo caso, me parecería más razonable que el orden sea el que he puesto en esta entrada y no el usual, donde las leyes de Newton van en los primeros temas (y se dan) y los conceptos energéticos van en los últimos (y no se dan).

¿Enseñamos ciencia con el método de Lagrange?

Esta cuestión, por otra parte, es siempre obviada cuando sale el debate del tema, y es la única que me hace replantearme si no estará bien dejar todo como está. ¿Qué es la energía potencial? ¿Resulta obvia? ¿Y la cinética? ¿Por qué tienen las expresiones que tienen? El método propuesto dejaría estas cuestiones sin contestar y reduciría toda la física a las mismas. Todo funcionaría en base a entes matemáticos no justificados para el alumno.

Sin embargo, los conceptos de aceleración y fuerza pueden resultar más fáciles de comprender. No como concepto, sino cómo se llegó a trabajar con ellos. En efecto, cronológicamente fueron primero. Newton dedujo la ley de gravitación universal buscando una ley matemática para las aceleraciones vectoriales que padecían los planetas, no pensando en energías. ¿Cómo lo iba a hacer, si ni siquiera se conocía el concepto de energía potencial?

Fue después de todo el avance de Newton que los matemáticos que le sucedieron se dieron cuenta de que definir las energías era extremadamente útil.

Así que enseñando Newton enseñamos a pensar y cómo se hace ciencia (En teoría, digo. Soy consciente de que nadie explica eso típicamente en el aula), pero enseñando Lagrange solo enseñamos conclusiones y el de dónde vienen queda en el aire. Este me parece un asunto muy relevante que resta puntos a Lagrange como teoría idónea.

Conclusiones:

Los alumnos en la ESO suelen sufrir con las matemáticas. De hecho les son obligatorias.

La física, por otra parte, es suficientemente interesante y útil sin necesidad de convertirla en una cuestión de ecuaciones. Me refiero al nivel de ESO. No tiene sentido hacer que los alumnos le tengan manía a esa asignatura por tener también manía a la otra.

Tal y como yo lo veo, lo importante «para la ciencia» no es que la gente aprenda a resolver el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la ESO, sino que aprenda a amar el placer de aprender cosas interesantes sobre el mundo que nos rodea. A tales efectos, el enfoque energético de Lagrange debería ser el eje de la docencia en física, complementado posteriormente por el enfoque de fuerzas y aceleraciones y no al revés.

Supongo que el principal motivo por el que esto no se hace es que estimo que el 90% de las otras carreras que usan física, entre ellas las ingenierías, química y biología, desconocen el formalismo lagrangiano y solo exigen a sus alumnos que dominen el de Newton. Y claro, democráticamente, lo que a los físicos nos gustaría pasa a valer poco más que absolutamente nada.

La cuestión seguirá ahí, y es importante pensar en ella por si procediera cambiar algo.