A raíz de mis prácticas en instituto durante la asignatura Prácticum del Máster de Profesorado, esta semana tuve ocasión de dar una charla interactiva a los alumnos de Física de 2º de Bachiller del IES Salvador de Madariaga en Coruña. El objetivo simplemente era aclararles posibles dudas que tuvieran tras haber visto Interstellar y haber leído cosas en internet sobre relatividad y cosmología relacionándolas con lo que sabían de clase.

Dado su contexto, esta no es una charla ligera para alguien que tenga lejana la física del instituto, pero aún así voy a ser optimista y decir que se puede sacar algo simplemente ignorando las ecuaciones. Además considero que al ir poniendo todas las preguntas que les hice es fácil seguir el hilo.

Quien busque algo sin ecuaciones puede ver mis ponencias sobre agujeros negros y cosmología, donde no hablaba exactamente de todo lo que hablé en esta ocasión pero los tiros van por lugares muy similares. Asimismo, también está mi entrada dedicada exclusivamente a Interstellar.

Por último, considero que lo una lectura de lo que hice puede ser un buen recurso didáctico para profesores que no controlen del tema y tengan alumnos en dicho curso.

Transcripción de la presentación y preguntas que fui realizando:

En esta presentación llamada «Dilatación del tiempo y materia y energía oscura» hablaremos de algunas cuestiones de física moderna que están presentes actualmente en algunas películas como Interstellar y la prensa. El objetivo no es tanto transmitir un montón de conocimiento de golpe como ver que todo esto está relacionado de forma relativamente sencilla con el contenido de bachillerato y evitar que queden dudas sobre las cuestiones tratadas. Cada uno de los temas será tratado por separado.

Dilatación del tiempo (relatividad):

Antes de hablar de la dilatación del tiempo y explicarla es necesario comprobar que estamos de acuerdo en una serie de prejuicios a priori sobre cómo debería ser el mundo introducidos por Galileo en el siglo XVII.

Galileo decía que si tenemos dos observadores O y O’, moviéndose el primero con una cierta velocidad u respecto al segundo, y ambos observan un tercer cuerpo en movimiento paralelo al del primer observador, se darán las siguientes relaciones:

• El tiempo t medido por el primer observador y el tiempo t’ medido por el segundo son iguales.
• Si el primero observador opina a velocidad del cuerpo es v, el segundo opinará que es v+u.
• Las aceleraciones en el cuerpo que miden ambos observadores son las mismas.

Hagamos algunas reflexiones sobre esto.

Si vamos en un coche a 120 km/h por la autopista y dentro tenemos una mosca volando, ¿la mosca está volando a 120 km/h también?

La respuesta obviamente es que no, pero la explicación no es obvia en general. La mosca lo que hace es impulsarse a través del aire, y es con respecto a este con respecto a quien hay que medir su velocidad. Dentro del coche, suponiendo ventanillas cerradas, el aire está quieto, con lo que la mosca solo se desliza a través del aire y el aire lleva la velocidad del coche al estar dentro de este. Abriendo las ventanillas la mosca dejará de poder revolotear con tranquilidad.

Supongamos que tenemos una canoa navegando por un río con corriente constante y el impulso de los remeros sobre el agua también es uniforme. Pongamos por caso que de la canoa se cae un frasco de madera que pasa a ser arrastrado también por la corriente, y que en la canoa tardan media hora en percatarse de que ha caído. ¿Cuánto tiempo tendrán que remar hacia atrás para recuperarlo con el mismo impulso en los remos?

Media hora, puesto que en el sistema de la botella la canoa se alejó con la velocidad de remada ese tiempo y le llevará lo mismo deshacerlo.

Sabemos que la Tierra rota a 1700 km/h constantemente hacia el este. Esto significa que por ejemplo Nueva York se mueve constantemente hacia Coruña y Coruña se mueve hacia Barcelona. Siendo este el caso, ¿por qué un vuelo Coruña-Nueva York no duraría menos tiempo que uno Nueva York-Coruña?

Porque el aire en el que se mueve el avión también rota con la Tierra.

Una vez aclarado que estamos de acuerdo en cómo debería funcionar el mundo, veamos la fuerza causante de que nos diésemos cuenta de que el modelo de Galileo está mal.

Supongo que todos conocéis la fuerza eléctrica entre dos cargas: si son de signos iguales se repelen y si son diferentes se atraen. La fuerza magnética, sin embargo, funciona al revés. Si tenemos dos cargas moviéndose en paralelo con una cierta velocidad v, la fuerza magnética entre ambas es atractiva si son iguales y repulsiva si son diferentes.

Hago notar que es una fuerza que depende de la velocidad. Esto no es habitual en física clásica. De hecho es la causa del problema.

Se distinguen aquí cuatro casos:

• Si la velocidad es nula no hay fuerza magnética.
• Si hay algo de velocidad la fuerza magnética es opuesta a la eléctrica, pero de menor intensidad.
• Si las cargas se mueven a la velocidad de la luz la fuerza magnética es opuesta exactamente a la eléctrica.
• Si las cargas se mueven más rápido que la luz la fuerza magnética es mayor que la eléctrica.

Esto tiene una grave consecuencia, y es que la fuerza entre dos cargas depende de nada más y nada menos que mi estado de movimiento.

Si yo estoy quieto las cargas interactuarán con la fuerza eléctrica habitual, pero si huyo de ellas con una velocidad v aparece una fuerza magnética que de otro modo no percibiría, dándose dos casos sangrantes:

• Si me alejo de las cargas a la velocidad de la luz, estas ni se atraen ni se repelen.
• Si me alejo de las cargas más rápido que la velocidad de la luz, ¡si son opuestas se repelen y si son iguales se atraen!

En suma, las fuerzas dependen de la velocidad relativa entre dos observadores, y por tanto las aceleraciones también. La mecánica de Galileo debía ser corregida.

Einstein se dio cuenta en 1905, aunque no siendo el primero, de que todos estos problemas se arreglaban si abandonábamos la hipótesis de que el tiempo que miden dos observadores con movimiento relativo no nulo es idéntico y damos por válido que la velocidad de la luz no depende de los observadores.

Supongamos que tenemos un tren en movimiento con velocidad v. Dentro de este, un observador O ve caer un rayo de luz desde el techo hasta el suelo en línea recta durante un tiempo dt.

El observador O’ externo al tren, sin embargo, verá que el rayo de luz hace un movimiento diagonal en un tiempo dt’, debido a que es arrastrado por el tren hacia adelante mientras cae. Si ambos miden la misma velocidad de la luz, mediante el teorema de Pitágoras se puede verificar que la relación entre tiempos es la que aparece indicada en la diapositiva.

El tiempo que mide O’ es mayor que el que mide O, siendo infinito a si el tren se moviese a la velocidad de la luz. Este fenómeno ha sido contrastado innumerables ocasiones con partículas subatómicas, cuya vida media antes de desintegrarse es mayor cuanto más rápido se mueven. Además es un pilar para que funcionen los GPS.

¿Explica esto a la perfección la paradoja electromagnética? Más o menos. Esta primera versión de la teoría de la relatividad, así planteada, planteaba una paradoja irresoluble que se suele denominar «la paradoja de los gemelos» y que no consiste en lo que se suele pensar que consiste.

Supongamos que tenemos dos hermanos gemelos en la Tierra y que uno de ellos se monta en una nave espacial para realizar un viaje prolongado a velocidades próximas a la de la luz. Cuando vuelva a la Tierra, asumiremos que su hermano habrá envejecido mucho mientras que él tendrá prácticamente el mismo aspecto.

¿Dónde estaba el problema? Pues fundamentalmente en que en el sistema de referencia del gemelo viajero es él el que está quieto y es la Tierra la que se aleja a velocidades próximas a la de la luz y vuelve hasta él. ¿Por qué habría de envejecer el terrestre si ambos perciben la misma velocidad relativa en el otro? Comprender la gravedad de esta incompatibilidad es muy importante. En Wikipedia, por ejemplo, dicen que los supuestos de la relatividad básica es suficiente para justificarlo y eso es un grave error.

Para poder quedarse tranquilo con esta cuestión Einstein tuvo que trabajar unos cuantos años más y acabó desarrollando la relatividad general, en la cual se establece que el gemelo terrestre es el que tiene preferencia en sus mediciones porque es el que se ve sometido a fuerzas menos intensas durante el tiempo que están separados. La nave requiere una gran fuerza para alcanzar velocidades próximas a la de la luz.

Asimismo, Einstein estableció que los campos gravitatorios, al ser también fuerzas, dilataban el tiempo allí donde actuaban siguiendo la ecuación de la diapositiva. La dilatación gravitatoria del tiempo fue verificada en la década de los 10 de dos formas diferentes que explicaremos a continuación.

La primera es que se comprobó que el Sol curvaba los rayos de luz. Si medimos la posición de una estrella en el cielo nocturno cuando está más cerca de nosotros que del Sol y la volvemos a medir 6 meses después, estando el Sol casi en medio, se puede verificar que el Sol ha distorsionado la luz que nos llega desde ella con la consecuente posición aparente errónea en el cielo de la misma. La luz distorsiona su trayectoria bordeando al Sol «para» evitar que su tiempo se dilate y llegar más rápido hasta nosotros.

Hablando de lo cual, hay dos preguntas interesantes a plantear. ¿La luz tiene masa? No, hasta donde sabemos hasta ahora. ¿Es incompatible esto con que le afecte la gravedad? Tampoco. La fuerza gravitatoria, en efecto, habla de la atracción entre dos masas, y como la luz tiene masa nula la fuerza gravitatoria sobre ella también es nula. No obstante la aceleración, que es fuerza entre masa, da una indeterminación. Así que, ¡sorpresa!, la gravedad afecta a cuerpos sin masa.

La segunda prueba es que Mercurio, que debería hacer órbitas elípticas alrededor del Sol según las leyes de Kepler que habéis visto, en realidad no las hace perfectas. Como la distancia entre Mercurio y el Sol cambia durante su trayectoria, también lo hace su tiempo, y esto provoca que cuando da una vuelta «piense» que todavía no ha pasado el tiempo adecuado y tarde más en alcanzar su distancia máxima. En la imagen de la derecha podéis ver cómo es incapaz de cerrar las elipses en su sitio por este desfase temporal.

Y vamos con el tema importante. en la ecuación de dilatación de tiempo gravitatoria que os he puesto se puede apreciar que hay una cierta distancia a la cual la relación entre tiempos se hace infinita: el radio de Schwarz.

Para que os hagáis una idea, si en la fórmula de este radio ponemos la masa de la Tierra sale 1 cm y si metemos la del Sol salen 3 km. Y bueno, si encerramos una masa en una esfera de tamaño menor a su radio de Schwarz asociado resulta que la dilatación temporal a su alrededor es infinita. ¿De qué estamos hablando aquí? De agujeros negros, por supuesto.

Imaginad que vosotros cogéis una nave y os metéis más allá del horizonte del agujero. En principio puede que no notéis nada raro, pero fuera habrá pasado un tiempo infinito. Este, por ejemplo, es uno de los errores de Interstellar. Cuando el protagonista atraviesa el horizonte de sucesos desde fuera debería verse su nave congelada sobre el mismo, no alcanzándolo nunca. Sin embargo, la chica le ve atravesarlo.

¿Podemos salir de un agujero negro? Bueno, lo importante no es en realidad si podemos salir, sino dónde saldríamos. Cuando atravesamos el horizonte ha pasado infinito tiempo fuera, o sea que el universo se habría acabado en principio. Por este motivo, se habla de que se podría usar agujeros negros para viajar entre universos.

No obstante, en este caso que os muestro es inevitable acabar colapsado en el centro del mismo para siempre.

¿Y aquí se acaba la historia? No. En los años sesenta el matemático Roy Kerr demostró que si un agujero negro rotaba su interior se volvía algo más agradable y se podía transitar saliendo ileso, o todo lo ileso que te deje un campo gravitatorio intenso. Por este motivo, mismamente en Interstellar, usan un agujero negro rotante.

Un agujero de gusano, por otra parte, sería conseguir hacer un túnel interdimensional de estos sin necesidad de horizonte para evitar los efectos temporales indeseados, pero no hay ninguna evidencia de que existan ni puedan existir.

De hecho, en realidad desde que conocemos la radiación Hawking lo más probable es que todo lo que os acabo de contar sobre agujeros negros sea mentira. Ahora sabemos que en principio se evaporan y desaparecen, con lo que probablemente no haya nada misterioso en su interior.

Materia y energía oscuras (cosmología):

Vamos con la segunda parte. La cosmología como ciencia física comenzó a principios del siglo XX, también de manos de Einstein. Él estaba convencido de que el universo era un conjunto de masa concentrada y que tenía un cierto tamaño finito.

Sin embargo, Einstein sabía que eso implicaba que el universo sería inestable y tendría que colapsar gravitatoriamente, dado que todas las masas se atraerían. Él pensaba, además, que este problema estaba relacionado con el de por qué los electrones no caen al núcleo atómico pese a tener cargas opuestas a los protones.

Para explicar simultáneamente ambas cuestiones, planteó la existencia de una cierta energía universal dedicada a «tirar de todo hacia fuera», evitando que el colapso universal y el de los átomos. Dicha energía sería la energía oscura. Sin embargo, su explicación era errónea. A día de hoy el universo tiene toda la pinta de ser infinito y sabemos que los átomos se sustentan con fuerzas nucleares.

Que Einstein estaba equivocado en este asunto quedó confirmado en 1929, cuando Hubble observó que el universo se estaba expandiendo.

En la gráfica de la izquierda podéis ver tabuladas las posiciones y velocidades de varias estrellas. Mediante un ajuste de regresión a una recta, que habréis visto en estadística, Hubble verificó que el cociente entre velocidad y distancia era el mismo para todas ellas. Es decir: las estrellas más lejanas se alejan más rápido de nosotros.

A la derecha podéis ver algunas de las posibilidades que esto brindaba en su momento: tal vez el universo se estuviese expandiendo para volver a colapsar, tal vez se expandiese siempre aunque frenando o tal vez se expandiese aceleradamente sin fin. Desde hace 20 años sabemos con gran seguridad que la tendencia es la última.

El universo parece estarse expandiendo sin límites y cada vez más rápido, de forma que al final todo acabará completamente separado de todo, incluyendo las partículas de nuestros propios cuerpos. Pero para esto queda muchísimo tiempo. Algunos autores, como Penrose, consideran a esta fase de nuestro universo el «universo aburrido», porque al estar todo separado nunca pasaría nada.

¿Pero cómo puede ser que se expanda algo que tiene tamaño infinito? Creo que la mejor forma de explicar esto es con la analogía del hotel infinito de Hilbert, planteado en los años cuarenta.

Imaginad que tenemos un hotel infinito con todas las habitaciones ocupadas. Imaginad ahora que llega un cliente. ¿Podemos alojarlo? Sí, si le decimos a todos los huéspedes que se cambien a la habitación siguiente a la que estaban ocupando y le damos la primera, por ejemplo. El último no se quedaría sin habitación porque no hay habitación última.

Pero compliquémoslo más: ¿podríamos alojar a infinitos clientes nuevos? Sí, por ejemplo diciendo a todos los huéspedes que se cambien a las habitaciones pares y dejando las pares para los nuevos. Podríamos, de hecho, alojar a infinitos nuevos grupos de infinitos clientes.

El universo hace esto mismo cuando se expande. Pese a que ya de por sí sería infinito, estaría constantemente hospedando nuevas cantidades de espacio.

Veamos ahora algunos datos y conceptos.

La edad del universo es de 14 Gigaaños, o 14000 millones de años usando unidades más corrientes. Sin embargo, el tamaño del universo observable, es decir, los lugares desde los cuales recibimos luz, es de 90 Gigaaños-luz de diámetro, o 45 Giga-años luz de radio.

¿Cómo es posible que si el universo tiene solo 14 Gigaaños de edad la distancia desde la cual nos llega luz sea muy superior? Pues por la expansión. En promedio, la luz ha estado viajando 3 veces más rápido que la luz en la historia cósmica, valga la contradicción.

Esto ayuda a entender, además, que cada vez tenemos menos vías de contacto con menos lugares del universo, ya que siempre hay alguna estrella que empieza a alejarse de nosotros en este instante a la velocidad de la luz para no volver. Aunque el universo observable aumente, no cuenta porque esa es luz que nos llega desde el pasado.

Otro detalle importante es que la densidad ρ del universo estamos bastante seguros de que es uniforme, como justificaremos luego. Esto implica que si queremos calcular la masa M en una región del universo solo tenemos que multiplicar la densidad por el volumen de dicha región. En la diapositiva estaría el cálculo para una esfera de radio r.

Vamos ahora con la teoría de la expansión. Sabemos, porque lo hemos medido, que la energía mecánica promedio en el universo para cada partícula es nula. Esto es muy consecuente con que vengamos de la nada. Si la energía es nula y se conserva, todo encaja.

Ahora bien, ¿cómo puede ser la energía promedio nula si hay energía? Pues porque la gravitatoria es negativa. Es decir, que toda la energía cinética positiva que medimos requiere de grandes dosis de energía gravitatoria negativa para contrarrestar. Matemáticamente, podemos decir que la suma de energía cinética y gravitatoria para cada galaxia a una distancia r es nula. De ahí despejamos la que se conoce como la primera ecuación de Friedmann, que facilita la velocidad a la que se alejaría en función de la distancia y la densidad del cosmos. Veis que, si la densidad es constante, la velocidad es proporcional a la distancia.

Sin embargo, sabemos que la densidad es masa entre volumen, y que si el universo se expande cada vez hay menos masa en el mismo volumen de universo.

En la primera gráfica de aquí podéis ver que en un universo donde todo fuese materia, la densidad de la misma iría disminuyendo hasta cero con el paso del tiempo y la expansión se frenaría.

No obstante, sabemos que el universo se expande más bien como indica la gráfica de abajo, es decir, aceleradamente, y esto ha llevado a reintroducir la energía oscura de Einstein, ¡pero por motivos completamente diferentes!

A la derecha podéis ver que la energía oscura, que no sabemos lo que es más allá de espacio multiplicándose, abarcaría hasta el 70% de la energía del universo. La materia abarcaría solo el 30% restante. Y de este 30%, el 25% no tenemos ni idea de dónde está, o qué es, por lo que lo denominamos materia oscura. Ambas, materia y energía oscura, son preguntas abiertas en la física actual. La primera es materia no observada y la segunda el espacio replicándose a sí mismo mediante algún mecanismo desconocido.

Cabe destacar que la materia oscura ya se propuso hace tiempo, observando los movimientos de rotación de galaxias.

Si consideramos una galaxia como un sistema físico y pronosticamos qué velocidad de rotación debería tener cada estrella en torno a la misma según la distancia, podéis ver que la predicción teórica dista mucho de adaptarse a la experimental, dando a entender que las galaxias tienen mucha más masa de la observada y que llega hasta mucho más lejos.

Por último, no quería cerrar esta presentación sin mostraros el fondo cósmico de radiación.

Habéis visto mapas de la Tierra alguna vez, ¿no? Pues ahora imaginad que cogéis y lo achatáis por los polos. Obtendríais una figura parecida a esta, ¿verdad?

Pues esto es ese mismo tipo de mapa, pero representando la luz que nos llega desde el borde del universo observable. O sea, es luz que lleva viajando hasta nosotros desde el principio de los tiempos y llega ahora.

Podéis apreciar que, como os decía antes, no hay apenas diferencias entre las distintas regiones del universo y que a gran escala es homogéneo, lo que da a entender que no cabe esperar que haya regiones muy diferentes por ahí adelante, si bien algunas teorías parecen dar a entender lo contrario.

Como curiosidad, cabe destacar que algunos buscan todo tipo de huellas de otros universos en esta radiación. Pero por ahora las teorías multiverso y demás son solo teorías y debemos pensar en ellas con cautela.