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Estudiar Física de Bachillerato (29): La dilatación del tiempo

6. RELATIVIDAD

6.1. La dilatación del tiempo

Fuerza magnética.

En los bloques anteriores analizamos la teoría electromagnética desde diversos puntos de vista, exponiendo todas sus predicciones y la trascendencia que estas supusieron para el desarrollo tecnológico, en particular durante el siglo XIX. Sin embargo, tal y como vimos en el último capítulo, la unificación del electromagnetismo en un único set de ecuaciones puso en jaque la idea clásica de que si nos movíamos hacia un cuerpo en movimiento este debería percibirse con menor velocidad. Ese problema llevó, como también explicamos, a que Michelson y Morley verificasen que la velocidad de la luz en el vacío era la misma para todos los observadores independientemente de cómo se estuviesen moviendo con respecto a esta.

Sin embargo, este no era el único problema que presentaba el electromagnetismo al ser analizado en su conjunto. Pocos años después de que Maxwell publicase su teoría, el físico Hendrik Lorentz popularizó su ecuación para la fuerza electromagnética que padecían las cargas según su velocidad y el campo magnético:

Fuerza Magnética.PNG

Esta fuerza, por su definición, era nula en el caso de que la carga estuviese en reposo o moviéndose paralela al campo magnético, y además era perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético. Al ser una fuerza perpendicular a la velocidad no podía aumentarla, tal y como vimos en el capítulo sobre rotaciones, y su único efecto sobre las cargas sería siempre provocar que girasen, distinguiéndose cuatro tipos de trayectoria:

  • Si la velocidad es nula, la carga se queda quieta.
  • Si la velocidad es paralela al campo magnético, la carga se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.
  • Si la velocidad es perpendicular al campo magnético, la carga gira con movimiento circular uniforme.
  • Si la velocidad forma un ángulo diferente con el campo magnético, su parte perpendicular al campo magnético la hace girar y la paralela continuar avanzando, con lo que describe una hélice circular.

El radio de los círculos en los últimos dos casos se puede calcular, como siempre, igualando la fuerza centrífuga hacia fuera con la fuerza magnética centrípeta hacia dentro. Así, en términos de la velocidad de giro, tenemos:

Radio Magnético.PNG

Donde se verifica que la velocidad de giro es la velocidad proyectada mediante el seno sobre el campo magnético (la componente perpendicular a este):

Velocidad Giro.PNG

Y, por otra parte, cabe destacar que el hecho de que la fuerza magnética sea perpendicular a la velocidad provoca que no pueda producir trabajo y, por tanto, no se salte el teorema de conservación de la energía pese a no ser conservativo. Esto es fácil de comprobar verificando que la potencia magnética es nula:

Potencia Magnética.PNG

El problema típico relacionado con estos conceptos sería más o menos así.

Una carga de 7 C con 0,24 kg de masa se mueve por el espacio con una velocidad v=(3,0,2) m/s cuando comienza a atravesar un campo magnético B=(0,0,1) T.
a) Calcula la fuerza sobre la carga.
b) Indica el tipo de trayectoria que describirá.
c) Calcula el radio de su trayectoria, en caso de haberlo.

a) Aplicamos la fórmula:

Solución 1.PNG

b) Para resolver este apartado debemos analizar la relación entre la velocidad y el campo magnético. En este caso, no son paralelos pero tampoco perpendiculares (su producto escalar (que daría 2) no es nulo), con lo que la órbita será una hélice.

c) Por último, para conocer el radio de los círculos de la hélice necesitamos conocer previamente la velocidad de giro. Hay dos formas de hacerlo. La sencilla y que recomiendo es darse cuenta de que en este caso son 3 m/s ya que es la componente que está en la velocidad pero no en el campo magnético. La segunda es recurrir a la ecuación, en cuyo caso podemos proceder del siguiente modo:

Solución 2.PNG

Es importante tener claro que las cargas positivas y las negativas, debido a la ecuación de la fuerza magnética, girarán en sentidos opuestos al entrar en campos magnéticos. Este efecto es empleado con frecuencia al trabajar con partículas para reconocer el signo de la carga de las que aparecen. Una técnica que, como veremos en el bloque sobre fenómenos cuánticos, sirvió a Joseph Thomson a finales del siglo XIX para establecer las propiedades del electrón.

Para establecer el sentido de giro del electrón únicamente tenemos que aplicar las mismas reglas que para conocer la dirección del producto vectorial, pero el siguiente esquema seguramente sirva de ayuda.

Orientación Órbita Magnética.PNG

Orientación del sentido de giro de las cargas según su signo y el campo magnético.

La fuerza de Lorentz sirvió, además, para analizar con detalle las fuerzas que se producían entre los cables observadas por Ampère medio siglo antes, como veremos hacia al final del capítulo.

Fin de la mecánica de Galileo.

Cuando Galileo dio el disparo de salida a la ciencia tal y como la conocemos hoy en día, dio por sentados una serie de axiomas que debían de ser obviamente ciertos. Uno de ellos, denominado el principio de relatividad de Galileo: si tenemos dos observadores Alice y Bob, y Bob observa a Alice moverse con velocidad u a lo largo del eje x, entonces se cumplen las siguientes relaciones entre sus sistemas de coordenadas:

  • Los procesos que sean simultáneos para Alice serán simultáneos también para Bob, esto es, percibirán el mismo paso del tiempo.
  • Cuando Alice vea un cuerpo desplazarse un diferencial dx1 desde su sistema de referencia, Bob percibirá un desplazamiento distinto debido a la velocidad relativa entre ambos.

Matemáticamente, si denominamos dt1 y dx1 a los diferenciales de tiempo y espacio de Alice, y dt2 y dx2 a los de Bob, obtendríamos lo siguiente:

Transformación de Galileo 1.PNG

Esto, en formalismo matricial, se escribiría del siguiente modo:

Transformación Galileo.PNG

No vamos a centrarnos en la teoría de matrices más allá de decir que esta expresión es equivalente a la de arriba. El 0 que aparece ahí hace que no hay ninguna relación entre dt1 y dx1, y la u hace dx2 esté relacionado con dt1 a través de u. Los dos 1 son los elementos diagonales de la matriz, y el 0 y la u son los elementos cruzados. Los primeros relacionan un diferencial de Bob con el mismo de Alice, y los cruzados relacionan los diferenciales diferentes.

Para invertir el proceso, y poder así calcular los diferenciales de Alice a partir de los de Bob, simplemente cambiamos el signo de la u:

Transformación Galileo Inversa.PNG

En este caso, decimos que el nuevo objeto que ha aparecido es la transformación inversa. Es posible comprobar que todo encaja con una sencilla operación:

Demostración Galileo.PNG

A partir de la transformación de Galileo es posible relacionar la velocidad que medirá Bob para un cuerpo, v2, con la que medirá Alice, v1:

Suma Velocidades Galileo.PNG

Veamos cómo se pone esto en práctica.

Alice va sobre una canoa, y desde ella ve a un pez nadando a su lado con una velocidad de 3 cm/s hacia la derecha. Bob, desde la orilla, percibe que el agua sobre el que están la canoa y el pez tiene una velocidad hacia la derecha de 5 cm/s. ¿Con qué velocidad verá Bob moverse al pez?

Solución 3.PNG

Vemos que la velocidad que percibe Bob es mayor porque le suma la del agua que lo arrastra.

El principio de Galileo funciona muy bien en las situaciones a las que estamos acostumbrados. Por ejemplo, si vamos en un tren a unos 200 km/h, nos levantamos, y paseamos por dentro, para los otros pasajeros tendremos una velocidad pequeña, pero para quien nos observe desde fuera será necesario sumar la velocidad del tren.

Ante situaciones así podríamos preguntarnos cómo nos estamos moviendo realmente, y lo más sensato es analizar en todos los casos qué es lo que hace posible que nos movamos. En el caso del tren, la persona que se mueve dentro lo puede hacer gracias al suelo, como ya explicamos en el capítulo acerca de momentos físicos, con lo cual es la velocidad con respecto al suelo del tren la relevante. Otro ejemplo clásico es el de los aviones, ¿por qué tardan lo mismo en realizar los trayectos cuando van a favor del sentido de rotación de la Tierra y cuando van en contra? La respuesta consiste en que la propia atmósfera también gira, arrastrando con ella al avión, y por tanto un observador desde el aire ve al avión moverse con la misma velocidad que uno desde el suelo.

Pero el punto crucial que nos va a interesar ahora que en la mecánica de Galileo, si no hay aceleración relativa entre dos observadores y u es constante, las aceleraciones que miden en un cuerpo externo son las mismas. Esto se comprueba derivando:

Aceleración Galileo.PNG

Esto, sin embargo, es falso en el caso del campo magnético, ya que la fuerza, y por tanto la velocidad, es diferente si la velocidad percibida es diferente.

Pongamos por caso que tenemos dos observadores, Alice y Bob de nuevo, que comienzan juntos en reposo. Ambos están observando dos cargas idénticas en reposo, aplicando cada una de ellas una fuerza eléctrica repulsiva sobre la otra de la forma:

Fuerza Eléctrica.PNG

Sin embargo, Bob comenzará a moverse hacia abajo con velocidad (0,0,-u), y por tanto desde su sistema de referencia serán Alice y las cargas quienes se moverán hacia arriba con velocidad u=(0,0,u). Estando así las cosas, el simple hecho de que Bob se mueva provoca que perciba una fuerza magnética entre las cargas. El campo magnético que crea una de ellas será:

Campo Magnético Cargas.PNG

Este campo magnético provocará sobre la otra una fuerza del siguiente modo, donde el producto escalar que se anula lo hace porque los vectores u y r∼ son perpendulares:

Fuerza Magnética.PNG

Y, apañando las expresiones, podemos ver que la fuerza total entre las cargas depende de la velocidad de Bob del siguiente modo, siendo c la velocidad de la luz en el vacío:

Fuerza Neta Cargas.PNG

Es decir, que según la velocidad de Bob suceden las siguientes cosas:

  • Si está quieto, la fuerza magnética se anula y percibe una interacción electrostática normal.
  • Si se mueve a velocidades inferiores a la de la luz en el vacío, aparece una fuerza magnética opuesta a la eléctrica y percibe una interacción electrostática reducida.
  • Si se mueve exactamente a la velocidad de la luz en el vacío, la fuerza magnética igual a la eléctrica y no percibe interacción alguna entre las cargas.
  • Si se mueve a velocidades superiores a la de la luz en el vacío, la fuerza magnética supera a la eléctrica y percibe que las cargas iguales se atraen.

La conclusión es abrumadora: el hecho de que las cargas iguales se atraigan o se repelan depende de la velocidad a la que se muevan, o a la que las vea Bob moverse. Este resultado, que involucraba aceleraciones diferentes en magnitud e incluso en sentido entre Alice y Bob, no tenía ninguna cabida en la mecánica de Galileo.

Dilatación del tiempo.

Lorentz, ante este resultado tan inquietante, intentó buscar alguna justificación a lo que pudiera estar sucediendo, y la encontró, aunque fue incapaz de tomársela en serio. Tal y como propuso, el problema se solucionaba se se consideraba la posibilidad de que el tiempo fuese diferente entre los observadores con velocidad relativa entre ellos. Concretamente, la paradoja se resolvía con la siguiente hipótesis sobre la dilatación del tiempo:

  • Si Bob está quieto, su tiempo transcurre igual que el de Alice, y por tanto perciben la misma interacción electrostática.
  • Si Bob se mueve a velocidades inferiores a la de la luz en el vacío, ve que el tiempo de las cargas transcurre más despacio, por lo que percibe una interacción electrostática reducida.
  • Si Bob se mueve a la velocidad de la luz en el vacío, ve que el tiempo de las cargas se congela, con lo que no percibe ninguna interacción en absoluto.
  • Si Bob se mueve más rápido que la velocidad de la luz en el vacío, ve que el tiempo de las cargas fluye en sentido contrario, motivo por el cual ve a las cargas iguales atraerse en lugar de repelerse.

Lorentz comentó durante bastante tiempo que era como si la naturaleza tuviese estas particularidades, pero añadiendo siempre la aclaración de que aunque era una forma de resolver el problema no podía ser la definitiva. ¿Cómo iba a estar mal algo tan obvio como el principio de relatividad de Galileo?

Para que el modelo de Lorentz tuviese sentido, era necesario establecer que al moverse Bob sus diferenciales de tiempo dt2 se relacionasen con los de Alice dt1 del siguiente modo:

Dilatación Cinética Tiempo.PNG

Y, así, la relación entre las fuerzas era una simple consecuencia de derivar respecto a tiempos diferentes:

Demostración Dilatación.PNG

Aunque Lorentz no estaba muy convencido con la idea, siguió indagando en ella y llegando a la conclusión, finalmente, de que el modelo requeriría, además, de una cierta noción de contracción del espacio, de modo que al moverse un cuerpo a gran velocidad percibiría que las longitudes en su dirección de movimiento se acortarían según la relación:

Contracción Longitud.PNG

De este modo resultaba posible que un cuerpo que por moverse muy rápido percibiese menos tiempo llegase a su destino en el momento oportuno. Si su tiempo es menor pero percibe la misma velocidad con respecto al exterior, también debe medir longitudes más pequeñas. Pero veámoslo mejor con un ejemplo.

Una nave espacial parte desde la Tierra hasta Alfa Centauri, ubicada a 4,37 años luz de distancia, con una velocidad de 10^8 m/s. Sabiendo que la velocidad de la luz en el vacío es de 3*10^8 m/s, calcula:
a) La distancia de Alfa Centauri en el SI.
b) El tiempo que tardará la nave en llegar hasta Alfa Centauri, vista desde la Tierra.
c) El tiempo del mismo trayecto, percibido por los pasajeros de la nave.
d) La longitud del trayecto, percibida por los pasajeros de la nave.
e) Comprueba que al dividir el la longitud y el tiempo medidos en la nave, se obtiene la velocidad de la nave.

a) El año luz es la distancia que recorre la luz en un año, con lo cual:

Solución 4.PNG

b) El tiempo del trayecto será, lógicamente, la distancia entre la velocidad de la nave:

Solución 5.PNG

c) El tiempo para los pasajeros, por otra parte, será el tiempo reducido (lo denotaremos con ‘):

Solución 6.PNG

d) Y la distancia que percibirán los pasajeros entre la Tierra y Alfa Centauri, a su vez, también se habrá comprimido:

Solución 7.PNG

e) Y, como consecuencia, los pasajeros percibirán que todo el universo se ha movido en dirección contraria a ellos con la misma velocidad con la que desde fuera se les percibe a ellos:

Solución 8.PNG

Los nombres de “dilatación del tiempo” y “contracción de la longitud” juntos, para mi gusto, conducen a engaño y generan bastante confusión cuando se quieren aplicar. Voy a explicar la cuestión con otras palabras.

Cuando analizamos un cuerpo estando en reposo con él a su lado, medimos el mismo tiempo que pasa para el cuerpo en cuestión. Sin embargo, si un observador externo que nos vea a ambos con velocidad u lo cronometra, percibirá que el tiempo es mayor que el que hayamos percibido nosotros. Hablamos de dilatación cuando decimos que el tiempo que mide dicho observador es mayor, pero perfectamente podríamos hablar de contracción si, como en el problema, pensamos en que nuestro tiempo es más corto que el suyo. Con la longitud sucede al revés: nosotros veríamos a dicho observador comprimido en nuestra dirección de movimiento, pero podríamos decir que la longitud se dilata al ser medida por él.

La clave radica en lo siguiente: si consideramos como los valores reales nuestro tiempo y su longitud, y no al revés, efectivamente él mide una dilatación del tiempo real, y nosotros una contracción de la longitud real. Pero en realidad el lenguaje permite hablar de lo contrario según el contexto.

Llegados a este punto, podría decirse que nosotros mediríamos, a su vez, una dilatación del tiempo del otro observador, y él una contracción de nuestra longitud, y creo que resultaría muy aclaratorio mencionarlo. No obstante, a día de hoy sabemos que esto no es así y por tanto prefiero no hablar de esta falsa simetría entre observadores. Volveremos sobre este tema en el capítulo siguiente.

Transformaciones de Lorentz.

Las ecuaciones anteriores fueron el primer modo, bastante a tanteo, de establecer el formalismo matemático de estos nuevos conceptos, pero no resultaban elegantes, en el sentido de que parecían fórmulas procedentes de la nada. Con la llegada del siglo XX, el matemático Henri Poincaré analizó el trabajo de Lorentz, encontró el patrón subyacente, y propuso una formulación alternativa en la cual nos inspiramos arriba para explicar las transformaciones de Galileo.

La nueva forma de las transformaciones, caracterizadas por una maravillosa simetría, sería la siguiente:

Transformación Lorentz.PNG

Donde γ representaría el factor de dilatación de Lorentz:

Factor Dilatación.PNG

Para trabajar con él, resulta muy útil conocer la siguiente relación:

Relación Gamma.PNG

Y la transformación inversa de Lorentz es:

Transformación Lorentz Inversa.PNG

Veamos los pasos a seguir para comprobar que efectivamente el efecto de esta matriz cancela la anterior:

Demostración Lorentz.PNG

Pero vayamos a la conclusión más relevante de estas transformaciones, que es que la suma de velocidades de Galileo debe ser modificada y el problema que resolvimos con el pez solo es aproximadamente correcto:

Suma Velocidades Lorentz.PNG

El factor que suma en el denominador es, precisamente, el que hace que la suma de velocidades de Galileo no funcione y la fórmula correcta sea esta suma de velocidades de Lorentz. Aplicando esta fórmula, podemos comprobar que al combinar dos velocidades, si una de ellas es la de la luz, la otra da igual y el resultado será la velocidad de la luz. Probemos sustituyendo v2:

Suma Velocidad Luz.PNG

De este modo quedaban justificados los resultados de Michelson y Morley. No podían haber medido una velocidad diferente de la luz porque al sumarla con cualquier otra velocidad da el mismo resultado.

La transformaciones de Lorentz, no obstante, solo son relevantes en los casos en los que las velocidades involucradas son próximas a la de la luz en el vacío o la de la luz en sí, con lo que resulta lógico que durante tantos años no fuesen descubiertas. En particular, con velocidades bajas son válidas las siguientes aproximaciones:

Aproximaciones Galileo.PNG

Las cuales demuestran que la teoría de Galileo es una aproximación a la de Lorentz para bajas velocidades.

Adiós al campo magnético.

Si recapitulamos, todo esto surgió de una casualidad, el día en que Oersted descubrió que las corrientes circulando por cables generaban efectos magnéticos. Aquel descubrimiento acabaría llevando a Ampère a analizar las fuerzas entre cables, después este motivaría a Faraday a descubrir la ley de inducción y, por último, entre Maxwell, Michelson, Lorentz y Poincaré acabarían de cerrar el círculo.

Ahora bien, a la luz de las nuevas ecuaciones, el magnetismo era reducido a un efecto secundario de las transformaciones de Lorentz. Lo vimos ya con las cargas: lo que llamamos fuerza magnética es una simple consecuencia de la dilatación del tiempo sobre la fuerza eléctrica.

Dado que el campo magnético a las velocidades a las que estamos acostumbrados supone fuerzas muy ridículas en comparación con el eléctrico, podríamos haber tardado mucho más en descubrir dichos efectos de no ser por la única situación en la que el magnetismo ganaba a la electrostática: los cables con corriente.

Como ya vimos, el campo eléctrico y magnético creados por un cable infinito eran de la forma:

Campos Cable.PNG

Y sobre una carga externa moviéndose con velocidad con velocidad paralela al cable producirían las siguientes fuerzas:

Fuerzas Cable.PNG

En el caso de que los campos no actúen sobre una carga sino sobre otro cable con idéntica densidad de carga lineal e intensidad, resulta más útil dividir ambas expresiones por la longitud de dicho cable y calcular la fuerza sobre el cable por unidad de longitud f:

Densidad Fuerza Cable.PNG

¿Cómo podemos justificar la aparición de esta densidad de fuerza magnética empleando solo la fuerza eléctrica y las transformaciones de Lorentz? El truco es algo rebuscado, pero muy lógico. Si tenemos dos cables con la misma cantidad de cargas positivas y negativas, entre ellos no habrá campo eléctrico alguno. Sin embargo, si suponemos que las cargas positivas de cada cable son las que se mueven produciendo intensidad, las cargas negativas del cable contrario verán que la distancia entre las positivas se ha comprimido, ¡provocando un aumento de la densidad lineal de carga proporcional al factor de Lorentz! Esta densidad de carga comprimida será la que genere la intensidad mediante la relación:

Intensidad.PNG

De modo que las cargas negativas de un cable padecen dos fuerzas. Una debida a la densidad de cargas positivas comprimida en el otro cable, y otra debida a la densidad de cargas negativas sin comprimir (y por tanto menor). El resultado será que los cables se atraerán con una fuerza que se corresponde con la fuerza magnética que buscábamos:

Densidad Fuerza Neta Cable.PNG

Y de este modo queda demostrado que el origen de todos los males, el magnetismo entre cables, puede ser reducido al efecto de una transformación de Lorentz, y por tanto toda la teoría electromagnética podría reemplazarse por la teoría electrostática en combinación con la teoría de Lorentz.

En lo personal, considero que de haberse descubierto antes estas transformaciones que la ley de Ampère nos habríamos librado del concepto de campo magnético no conservativo y sus productos vectoriales. No obstante, hay otra línea de pensamiento que considera que deben de existir monopolos magnéticos y por tanto es algo más que un efecto secundario de la electrostática con movimiento relativo. Pero en esencia, podemos entender todo usando solo el campo eléctrico y considerando las velocidades de las cargas, sin mencionar el magnetismo en absoluto. Es imposible saber si dentro de años se habrá dejado de hablar de él o, por el contrario, su relevancia seguirá vigente.

En el siguiente capítulo analizaremos cómo todas estas ideas llevaron al joven Einstein a postular el nuevo principio de relatividad que vino a desbancar al de Galileo.

ACTIVIDADES RECOMENDADAS.
1. Tenemos una carga de -2 C y 0,002 kg moviéndose con velocidad v=(4,-3,2) m/s cuando comienza a verse afectada por un campo magnético de la forma B=(0,-4,0) T.
a) Calcula su velocidad de giro.
b) Calcula la fuerza magnética sobre la carga.
c) Calcula el radio de la órbita circular.
d) Dibuja un esquema con el giro donde todos los vectores tengan la orientación pertinente.
e) Calcula el campo eléctrico que, actuando sobre la carga, podría anular la fuerza magnética.
2. Un alumno tiene un examen en 4 horas, pero no ha estudiado nada y necesita al menos 10 horas para preparárselo bien. Calcula:
a) La velocidad a la que se tendría que mover con respecto al aula del examen mientras estudia.
b) La distancia que recorrería con respecto a un observador en el aula.
c) La distancia que él mismo percibiría que ha recorrido.
3. Una persona se mueve dentro de un tren que circula a 300 km/h y lanza una pelota hacia delante con una velocidad de 1,4 m/s. Calcula la velocidad que asignaría a pelota un observador desde fuera del tren:
a) Usando la suma de velocidades de Galileo.
b) Usando la suma de velocidades de Lorentz.
c) Compara los resultados y justifica la relación.

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