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Estudiar Física de Bachillerato (28): La onda electromagnética

5. LUZ Y ONDAS

5.1. La propagación de la luz
5.2. Las lentes
5.3. Los espejos
5.4. Las ondas armónicas
5.5. El sonido
5.6. La onda electromagnética

Ecuaciones de Maxwell.

Como vimos al final del bloque anterior, las cuatro leyes fundamentales del electromagnetismo, las cuales explicaban de dónde procedían los campos eléctricos y magnéticos y de qué modo evolucionaban en el tiempo, fueron condensadas por Maxwell en la forma de cuatro ecuaciones diferenciales:

Ecuaciones Maxwell.PNG

Maxwell formaba parte de la élite científica británica a mediados del siglo XIX. Procedente de una familia con recursos, se especializó en la física más teórica del momento, aquella que empleaba las completas matemáticas de la geometría diferencial desarrolladas por Gauss, Stokes, Hamilton y Bernhard Riemann, entre otros. Mientras que en la física europea en general no se hablaba de divergencias ni rotacionales, sino a lo sumo de circulaciones y flujos, en el noroeste de Europa se habían centrado con esmero en emplear los primeros conceptos para desarrollar la física de fluidos. Combinando la idea de que los fluidos tienen un campo vectorial de velocidades con la geometría diferencial, habían sido capaces de desarrollar un modelo minucioso y detallado de cómo debían comportarse en general. En particular, Claude-Louis Navier y Stokes publicaron la que desde entonces es la ecuación fundamental de la física de fluidos: la ecuación de Navier-Stokes.

Tratándose de las matemáticas aplicadas más complejas de la época, no todos eran capaces de entenderlas correctamente, y en particular habría resultado imposible que genios sin formación académica como Faraday fuesen capaces de emplearlas. Por ese motivo fue una gran suerte para la humanidad que Maxwell se interesase por las ideas de este y las considerase una inspiración.

Faraday estaba convencido de que los campos eléctrico y magnético eran reales y rellenaban el espacio, aunque solo los pudiésemos percibir por su efecto sobre las cargas. Ambos campos se movían, giraban, y se comportaban en general como entes igual de físicos que la materia. Y Maxwell, con su formación, no tardó mucho en darse cuenta de que podría intentar aplicarles la física de fluidos, llegando a la publicación de sus cuatro ecuaciones.

Surgió entonces la siguiente cuestión. Si las variaciones de campo eléctrico producían campo magnético, y las variaciones de campo magnético producían campo eléctrico, ¿sería posible que ambos se retroalimentasen mutuamente, provocando una dinámica en la que no requiriesen de carga alguna para manifestarse? Para responder a esta pregunta, Maxwell escribió sus ecuaciones considerando un espacio vacío libre de cargas, es decir, sin densidad de carga ni de corriente:

Ecuaciones Maxwell vacío.PNG

Estas se conocen como las ecuaciones de Maxwell en el vacío, y en ellas es manifiesto que existen muchas similitudes entre los dos campos. Ninguno de ellos tiene manantiales o sumideros, y sus rotacionales están relacionados con las derivadas temporales del otro.

Como vimos en el capítulo acerca del producto vectorial, podríamos calcular el rotacional del rotacional de un campo (doble producto vectorial) con el siguiente resultado:

Doble Rotacional.PNG

Aplicando esto a la ecuación de Faraday obtuvo lo siguiente:

Onda Eléctrica.PNG

Y, aplicándolo a la ley de Ampère-Maxwell, llegó exactamente a la misma conclusión para el campo magnético:

Onda Magnética.PNG

La conclusión era sorprendente. La derivada segunda temporal de cada uno de los campos afectaba a su derivada segunda espacial. ¿Qué tipo de movimiento sería compatible con dichas ecuaciones? Pues, precisamente, el de una onda armónica.

Ondas armónicas en tres dimensiones.

Podemos generalizar la ecuación de una onda armónica, obviando desfases, para que aplique a vectores en el espacio del siguiente modo:

Onda Vectorial.PNG

En este caso, la amplitud se intercambiaría por la amplitud vectorial E0, el número de onda se intercambiaría por el vector de onda k, que seguiría indicando la dirección de propagación, y r sería la posición en el espacio en la que quisiésemos calcular el campo.

Al estar en el vacío, la divergencia del campo eléctrico tendría que ser siempre nula, lo cual nos llevaría a la importantísima condición de que el campo eléctrico ondulatorio debe ser siempre perpendicular a la dirección de propagación de la onda:

Campo Perpendicular Onda.PNG

Onda Electromagnetica.gif

Esquema de la vibración de los campos eléctrico y magnético en una onda electromagnética. Aproximado, ya que en realidad ambos giran alrededor del eje de propagación.

Y dado que el campo eléctrico tiene que ser perpendicular a la dirección de propagación, pero además debe ser perpendicular al campo magnético, pero el campo magnético también tendrá que ser perpendicular a la dirección de movimiento, podemos concluir que en una onda electromagnética en el vacío los vectores E, B y k siempre son perpendiculares entre ellos.

Calculemos ahora las derivadas dobles:

Derivadas Segundas Campo.PNG

Al sustituirlas en la ecuación que obtuvo Maxwell, se lleva al siguiente resultado:

Relación Maxwell.PNG

De modo que el campo electromagnético en el vacío es compatible con una onda armónica tridimensional siempre y cuando se mueva a una velocidad c de exactamente:

Velocidad Luz.PNG

Luz.

El resultado era tan sorprendente que seguramente constituya una de las mayores proezas de la historia del intelecto humano. Las ondas electromagnéticas en el vacío debían de propagarse siempre a una velocidad de trescientos mil kilómetros por segundo, un resultado que coincidía a la perfección con la velocidad de la luz medida por Foucault poco tiempo antes.

Maxwell, en su condición de genio, no tardó en relacionar ambos valores y llegar a la conclusión de que la luz no era más que una onda electromagnética, producida por las vibraciones coordinadas de los campos eléctrico y magnético. En suma, todo rayo de luz supone la vibración de dichos campos en el plano perpendicular a su dirección de movimiento y, de hecho, es dicha vibración la que transmite de un lugar a otro.

Pero la luz, además, era conocido que transportaba energía, con lo cual el movimiento de los campos tenía asociada su propia energía y, ¡existían! Si para que los campos puedan girar por el espacio es necesario asignarles una cierta energía electromagnética, entonces no cabía la menor duda de que estos eran reales. Maxwell trajo así los campos físicos del mundo de los conceptos abstractos al mundo de lo real.

La teoría electromagnética de Maxwell, la primera gran unificación en física teórica después de que Newton unificase la física de los astros con la caída libre de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra, supuso que las ondas electromagnéticas deberían comenzar a ser analizas en detalle, y esto pronto llevó al desarrollo del los sistemas de comunicación inalámbrica a través de señales de radio, una de las obras del inventor Nikola Tesla.

Todas las ondas electromagnéticas se diferenciarían únicamente por su frecuencia y el sentido de vibración de los campos que transportaban, de modo que las ondas con más frecuencia fuesen más energéticas y viceversa. No obstante, hablaremos más sobre esto en el bloque de fenómenos cuánticos.

Otra consecuencia muy interesante es que Maxwell permitió reinterpretar los índices de refracción de los medios como una consecuencia directa de que las constantes eléctrica y magnética modificasen su valor. Así, la velocidad de la luz en un medio diferente del vacío vendría dada por la relación:

Velocidad Luz Medio.PNG

De este modo, el concepto de distancia óptica de Fermat pudo ser desterrado para siempre y reinterpretado, en su lugar, como que la luz se mueve más despacio en los medios con índice de refracción mayor, siendo esto una consecuencia del aumento del valor de las constantes eléctrica y/o magnética. Este hecho de que la luz se moviese más despacio en medios materiales permitiría más adelante confirmar que si una fuente de ondas electromagnéticas se mueve por un medio a la velocidad de la luz en dicho medio puede generar ondas de choque electromagnéticas.

Fin del éter electromagnético.

El resultado de Maxwell era espectacular y resolvía un montón de problemas conceptuales, como la naturaleza de la luz y la ontología (realidad) de los campos. Sin embargo, cual caballo de Troya, supuso el primer golpe de gracia a todas las ideas esenciales de la mecánica de Galileo y Newton.

Todo comenzó con una pregunta. ¿Si las ecuaciones de Maxwell predicen una velocidad concreta para la luz de forma general, en qué sistema de referencia deben interpretarse? La velocidad de la luz no podía ser la misma si estábamos quietos con respecto a la fuente que si nos movíamos. Del mismo modo, la velocidad de la luz sobre la superficie de la Tierra medida suponiendo que está quieta no puede ser la misma que si tenemos en cuenta su movimiento de traslación alrededor del Sol. Tal y como explicamos al hablar de Ampère, este problema se solucionaba dando por hecho que existía un éter electromagnético que impregnaba todo el universo y sobre el cual se movía la luz. Las ecuaciones de Maxwell estarían escritas en este sistema de referencia absoluto, y la velocidad de la luz tan solo sería exactamente medida si el observador estaba en reposo absoluto en el cosmos.

La teoría del éter tenía una implicación interesante, que era que podríamos conocer la velocidad de la Tierra sobre el éter comparando a qué velocidad se mueve la luz sobre ella con su velocidad en el vacío. Esta idea fascinó a los físicos Albert Michelson y Edward Morley, quienes se aventuraron a ponerla a prueba experimentalmente hacia finales del siglo XIX.

En su experimento, conocido como experimento de Michelson-Morley, emplearon un sistema óptico desarrollado por Michelson, al cual a día de hoy se le denomina interferómetro de Michelson. La idea era sencilla, pero comprenderla requiere tener afianzados todos los conceptos vistos durante este bloque.

Lo primero que tuvieron que hacer fue determinar, dentro de su laboratorio, la dirección paralela al movimiento de traslación de la Tierra. Llamaremos a este el eje de traslación y a su perpendicular, por simplicidad, eje perpendicular. Sobre un punto del eje de traslación que habían definido, colocaron un prisma plano translúcido que relejaba y refractaba la luz a partes iguales. Dicho prisma sería el centro del experimento.

Michelson Morley.gif

Esquema del experimento de Michelson-Morley en los casos a) sin éter electromagnético (correcto) y b) con éter electromagnético (erróneo)

Posteriormente, la idea era sencilla. Se colocaba una linterna sobre el eje de traslación apuntando al prisma y este era iluminado. El rayo de luz, al llegar hasta él, se dividía en dos componentes. La reflejada seguía la dirección del eje perpendicular, y la refractada seguía una línea recta a lo largo del eje de traslación. Ambos rayos se encontraban con espejos ubicados a la misma distancia desde el prisma, un espejo de traslación y un espejo perpendicular, los cuales reflejaban los rayos de vuelta hasta el prisma. Tras este segundo encuentro, el rayo previamente refractado se reflejaba, y el previamente reflejado se refractaba, acabando ambos en la misma dirección sobre el eje de traslación rumbo a un detector, el cual los recogía.

Michelson y Morley estaban convencidos de que el rayo de luz que pasaba más tiempo sobre el eje de traslación, debido a la velocidad de la Tierra, tardaría más tiempo en realizar su recorrido, ya que la Tierra le alejaría de su espejo con la traslación mientras que la luz se movería a la misma velocidad respecto al éter. Al tardar más tiempo en realizar su recorrido, adquiriría cierto desfase con respecto al otro rayo. Y, al haber un desfase entre ellos, al juntarse al final no llegarían al detector con interferencia constructiva. Es por este motivo que el experimento se llamaba interferómetro.

El hecho de que la luz estuviese relacionada con vibraciones de vectores involucraba, curiosamente, la posibilidad de que al sumar dos rayos de luz esta desapareciese si se cancelaban por estar en oposición de fase.

Al llegar, resultado fue demoledor: los rayos de luz llegaban siempre al final con una interferencia constructiva perfecta, como si nunca se hubiesen separado. Y la conclusión que tendrían que asimilar era que la luz se mueve a la misma velocidad con respecto a todos los observadores independientemente del movimiento relativo.  No obstante, tanto Michelson como Morley prefirieron pensar que simplemente su experimento estaba mal diseñado y había fallado en su propósito de medir la interferencia.

Ambos contribuyeron, con su escepticismo, a dejarle el camino preparado a Albert Einstein para sentar las bases de su teoría de la relatividad, de la cual hablaremos en el siguiente bloque.

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