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Estudiar Física de Bachillerato (30): La relatividad especial

6. RELATIVIDAD

6.1. La dilatación del tiempo
6.2. La relatividad especial

Velocidad universal.

Como vimos en el capítulo anterior, Lorentz y Poincaré llagaron entre finales del siglo XIX y los primeros años del siglo XX a la conclusión de que las discrepancias entre la mecánica clásica y el electromagnetismo podían ser resueltas considerando que la primera solo era aproximadamente cierta y en realidad el tiempo no fluía con la misma velocidad para todos los observadores. Sin embargo, sus sistemas de ecuaciones eran enfocados como un truco matemático que no describía la realidad del tiempo.

Esto cambiaría en 1905, cuando el joven Albert Einstein decidió hacerse un hueco en la historia con sus aportes a la física. Por aquel entonces, Einstein había acabado su estancia en la universidad y no estaba especialmente vinculado al mundo académico, pero dedicaba sus ratos libres a leer, conversar y reflexionar sobre algunos problemas que le mantenían intrigado. Por ejemplo, ya siendo estudiante se había interesado por la cuestión de qué sucedería si pudiese alcanzar un rayo de luz y moverse junto a él. El electromagnetismo de la facultad no le había podido dar nunca una respuesta a esa pregunta.

Einstein sentía especial admiración por Mach, un positivista científico que llevaba la filosofía de que todo aquello que no fuese directamente experimentable debía ser considerado con escepticismo hasta el punto de poner en duda la teoría atómica en tanto que los átomos no habían sido observados. Mach defendía, además, que el tiempo y el espacio y sus mediciones solo tenían sentido en relación a observadores concretos.

Así que, a diferencia de Lorentz, Einstein no tuvo ningún reparo, al darse cuenta de que todo el electromagnetismo podía explicarse de forma más sencilla aplicando sus transformaciones, en postular que el principio de relatividad de Galileo era falso y debía ser reemplazado por los siguientes axiomas:

  • Todos los observadores miden siempre la misma velocidad de la luz en el vacío.
  • Todos los observadores perciben como correctas las mismas leyes de la naturaleza.

El hecho de que todos los observadores tuviesen que medir siempre la misma velocidad para los rayos de luz conllevaba como consecuencia inevitable las transformaciones de Lorentz, ya que eran la única forma de garantizar que, como observaron Michelson y Morley, los intentos de medir la velocidad de la luz con un valor diferente resultasen fallidos.

Pero la teoría de Einstein iba más allá de los avances realizados por Lorentz y Poincaré, postulando que las transformaciones relativistas no eran una particularidad del electromagnetismo sino de toda la física. Muchos de los ejemplos que analizamos el capítulo anterior, de hecho, eran ya de naturaleza no electromagnética. Y a día de hoy, la dilatación del tiempo debida a la velocidad debe ser tenida en cuenta en los sistemas de localización GPS, los cuales deben tener en cuenta que el tiempo que pasa para los satélites en el espacio es diferente del que transcurre sobre la superficie de la Tierra.

Tiempo propio.

La conservación de la velocidad de la luz hace que distintos observadores tengan que estar de acuerdo en la siguiente ecuación, aunque para cada uno tenga valores diferentes:

Ecuación Luz.PNG

Si la elevamos al cuadrado y aplicamos una transformación de Lorentz, se obtiene el mismo resultado:

Demostración Conservación.PNG

Y, en general, para cualquier rayo de luz podemos decir que todos los observadores estarán de acuerdo en que:

Tiempo Luz.PNG

Si los cuerpos no son luz, decimos que lo que hay a la izquierda es el tiempo propio τ, el que se mide estando en reposo con ellos:

Tiempo propio.PNG

Un rápido análisis nos permite ver que si para un cuerpo pasa tiempo, necesariamente recorre menos distancia dx que la que recorrería la luz en ese tiempo, c*dt. Esto nos permite clasificar las trayectorias en tres categorías:

  • Tipo tiempo, si el tiempo propio no es nulo y el cuerpo se mueve más despacio que la luz.
  • Tipo luz, si el tiempo propio es nulo y el cuerpo se mueve a la velocidad de la luz.
  • Tipo espacio, si el tiempo propio es imaginario y el cuerpo se mueve más rápido que la luz.

Nunca hemos observado nada moverse más rápido que la luz, y de hecho todo apunta a que es imposible por motivos que expondremos un poco después. Lo cual es una lástima, porque implica que el viaje al pasado superando la velocidad de la luz es un objetivo inalcanzable.

Es fácil comprobar que si un observador ve un cuerpo moviéndose con velocidad u, se verifica la relación de Lorentz entre sus tiempos:

Dilatación Lorentz.PNG

Este análisis de los tipos de trayectorias según el factor tiempo propio, junto con la conclusión de que la característica de la luz es que para ella siempre es nulo, fue establecido por el matemático Hermann Minkowski, a quien debemos el formalismo más elegante de la relatividad que comentaremos un poco más adelante. Ni Lorentz ni Einstein llegaron a definir y manejar el tiempo propio como herramienta con anterioridad.

Momentos relativistas.

Dentro de la teoría de la relatividad, hay una magnitud que se conserva de forma muy clara, y es la siguiente:

Constante Relativista.PNG

Podemos darle a esta constante unidades de energía multiplicándola por la masa del cuerpo en movimiento y por la velocidad de la luz en el vacío al cuadrado, obteniendo así una magnitud a la que llamaremos energía de la masa:

Energía Masa.PNG

Y, a partir de esta definición de energía, podemos definir el momento lineal relativista de la forma habitual (cambiando de signo por comodidad la expresión, lo cual es irrelevante de cara a su conservación):

Momento Lineal Relativista.PNG
Como podemos observar, la única diferencia con el caso clásico es que aparece multiplicado por el factor de dilatación de Lorentz, pero en esencia sigue siendo el producto de la masa y la velocidad. Con el momento angular, si añadiésemos la componente y y trabajásemos en dos direcciones, la diferencia sería la misma.

Y en esta ocasión, a diferencia de lo que sucedía en la mecánica clásica, vemos que sí que tiene sentido definir un momento temporal, ya que existen dos tiempos diferentes. Dicho momento temporal, la energía relativista del cuerpo, será definida como:

Energía Relativista.PNG

La energía relativista, la masa, y el momento lineal relativista se relacionan a través de una ecuación pitagórica, del siguiente modo:

Energía Relativista 2.PNG

Si el momento es nulo, es decir, si el cuerpo está quiero, la energía coincide con la energía de la masa. En caso contrario, a la energía de la masa se le suma el término de la derecha. En este contexto, la energía cinética relativista se define como toda aquella que no es de masa, y se puede comprobar aproximando por serie de Taylor que a velocidades pequeñas en comparación con la de la luz coincide con la fórmula que llevamos usando durante todos los capítulos:

Energía Cinética Relativista.PNG

Vemos por tanto que, como en el capítulo anterior, existe una conexión directa entre los conceptos relativistas y los conceptos clásicos.

Tenemos una masa de 50 kg que ha conseguido alcanzar los 4*10^7 m/s, calcula:
a) Su energía de masa.
b) Su factor de dilatación.
c) Su momento relativista.
d) Su energía.
e) Su energía cinética.

Solución 1.PNG

Una de las conclusiones directas de estas expresiones es que si el factor de dilatación es infinito, es decir, la velocidad del cuerpo es la de la luz, tanto el momento relativista como la energía se disparan hasta infinito con él. Por este motivo, en principio, no es posible que ningún cuerpo alcance la velocidad de la luz. Si la energía necesaria fuese mucha podríamos hablar de que sería difícil pero a lo mejor en un futuro se descubría la forma, pero si es infinita no hay nada que hacer. En la actualidad hemos conseguido acercas partículas al 99,9999(…)% de la velocidad de la luz, y de hecho es algo frecuente en los aceleradores de partículas. Sin embargo, parece claro que supone un límite físico al que nos debemos adaptar.

Pero por supuesto, la luz es una excepción, ya que ella sí que alcanza su propia velocidad. En ese caso, la trampa radica en que la luz tiene que tener masa nula para que su energía no se infinita. Y, por sorprendente que parezca las primeras veces, en efecto la luz, y las ondas electromagnéticas en general, transportan energía pero no masa. Ahondaremos más en la energía de la luz en el bloque de fenómenos cuánticos.

Paradoja de los gemelos.

La teoría de Einstein publicada en 1905 tenía muchas virtudes en cuanto a explicar los problemas que había con el electromagnetismo, pero también cargaba con un gran lastre: era una teoría que solo funcionaba con velocidades constantes. En cuanto las aceleraciones aparecían en escena, las transformaciones de Lorentz se rompían y no se podían aplicar con tranquilidad. Además, era una teoría con situaciones paradójicas sin solución. Por este motivo a estas primeras ideas se las denomina relatividad especial, en contraposición a la relatividad general que solucionaría los problemas.

Pongamos por caso que dos gemelos están en la Tierra, uno de ellos monta en una nave espacial, se marcha a velocidades próximas a la de la luz, y vuelve tiempo después. ¿Quién ha envejecido más y por qué? ¿El gemelo de la nave o el de la Tierra? Ambos habrán visto al otro moverse a velocidades vertiginosas por el espacio. La relatividad especial no tenía respuesta para esta cuestión, y era necesario dictaminar de algún modo de decir quién tenía razón.

Otra paradoja clásica es la del caballero y el dragón. Tenemos un caballero que quiere matar a un dragón al otro lado de un barranco, pero su lanza no llega hasta él. Para poner remedio al problema, decide alejarse y correr hacia el barranco a gran velocidad, de modo que perciba una contracción de su longitud y su lanza llegue hasta el dragón. Sin embargo, el dragón percibiría lo contrario: que al moverse el caballero, este se comprime. ¿Quién tiene razón?

Este tipo de problemas sin respuesta son englobados bajo el nombre de paradoja de los gemelos, y provocaron más de un disgusto a Einstein cuando empezó a ver que aparecían por todas partes en torno a 1907. ¿Cómo decidir quién tenía razón en cada caso?

Espacio-tiempo.

Cuando Minkowski echó un ojo a la teoría relativista y propuso a Einstein formalizarla con sus matemáticas, la geometría de Minkowski, no sabía que le estaría llevando a desarrollar la idea más maravillosa del siglo XX. En esencia, Minkowski explicó a Einstein que su teoría de la relatividad especial se podía representar mediante un tipo de geometría donde el tiempo pasaba a ser una coordenada más y, mientras que los tiempos y las longitudes medidas por diferentes observadores podían ser diferentes, la nueva magnitud que se conservaba era el tiempo propio.

Dentro del formalismo espacio-tiempo de Minkowski, las transformaciones de Lorentz no eran más que giros que mezclaban el espacio y el tiempo, aunque un tipo de giro particular llamado giro hiperbólico. Y tal y como dijo Fermat siglos atrás, la luz se propagaba por el espacio-tiempo minimizando la longitud relativista, que es el tiempo propio. En particular, haciendo que siempre fuese nulo.

Estos conceptos llevaron a Einstein a pensar que quizás la teoría general de la relatividad podría considerar como un buen punto de partida la idea de que la luz siempre se tiene que mover en línea recta, y a preguntarse algo que nunca nadie se había preguntado hasta entonces: ¿por qué la luz minimiza el tiempo que transcurre mientras se propaga desde un punto hasta otro, pero el resto de sistemas minimizan la energía potencial? Pronto se pondría camino a unificar ambos conceptos estableciendo que los cuerpos minimizan su acción siguiendo líneas rectas en el espacio-tiempo relativista.

Esta idea ya rondaba la mente de Einstein un año antes de sus conversaciones con Minkowski, cuando se dio cuenta de que un observador dentro de una cabina en caída libre no notaría ninguna fuerza en absoluto. Si soltase algo, se mantendría flotando a su lado mientras ambos caen con hacia el suelo debido al efecto implacable de la gravedad. Einstein pensó entonces que todos los observadores podrían sentirse en reposo mientras estuviesen sometidos a aceleraciones, con la única condición de no poder comparar con su entorno si este se estaba moviendo o no. Llamó a esta idea principio de equivalencia,  y básicamente decía que las fuerzas sobre un observador le resultan imperceptibles si no pasa mucho tiempo ni puede desplazarse mucha distancia, variando el concepto de “mucho” de un caso a otro. En sus propias palabras, fue la idea más feliz de su vida.

La corriente de ideas acabaría desembocando en que Einstein postulase que al moverse todos los cuerpos, en general, en línea recta por el espacio-tiempo, el espacio-tiempo estaba curvado y las fuerzas que percibimos son una consecuencia de dicha curvatura. El motor principal para curvar el universo sería, además, la energía, y así resolvió la paradoja de los gemelos.

En el caso de los gemelos en la Tierra, envejecería menos el hermano de la nave por estar sometido al trabajo realizado por los motores de la nave. En el caso del dragón y el jinete, la respuesta es un rotundo “depende”. Cuando el caballero acelera con el caballo, efectivamente percibirá que el barranco se comprime, pero después todo dependerá de qué hace al llegar al barranco. Si frena, los efectos relativistas desaparecerán y seguirá sin llegar con su lanza. Si no frena, matará al dragón, pero es que irá tan rápido que el barranco podrá atravesarlo en una diminuta fracción de segundo.

En el próximo capítulo hablaremos acerca de las predicciones de la relatividad general y sus problemas relacionados abiertos, como son la estructura del universo y los agujeros negros.

ACTIVIDAD RECOMENDADA
1. Un electrón procedente del Sol llega a la Tierra con una velocidad de 2,97*10^8 m/s. Su masa es de 9,11*10^-31 kg. Desde la Tierra se ve que tarda 0,167 ms en atravesar la atmósfera. Calcula:
a) El tamaño aproximado de la atmósfera para un observador en la Tierra.
b) El tamaño que ha tenido para el electrón.
c) El tiempo que ha transcurrido para el electrón.
d) La energía de masa del electrón.
e) El factor de dilatación del electrón.
f) La energía del electrón.
g) El momento lineal del electrón.
2. En una estación espacial van a recoger una enorme masa que se mueve hacia ellos con una energía de 5*10^19 J y un momento lineal de 4*10^10 kg*m/s. Calcula su masa.

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5 replies »

  1. Adrian en el clasico ejemplo del tren y la linterna q se enciende dentro de el como se entiende q yo quiera medir la velocidad de la luz q emite la linterna con otro rayo de luz(ya sea del q va arriba como del q esta abajo)? Se entiende?

    • Hola,

      El experimento del tren es un experimento mental, esto es, no realizado tal y como se plantea. Todos estos fenómenos relativistas no se han observado con una persona mirando, sino con detectores y cronómetros debidamente ubicados y sincronizados.

      Saludos.

  2. La verdad es q cuando hago un experimento mental me gustaría incluir la dificultad del concepto “medir”. Y resolverlo. Si no considero la limitación o explícito como hago para “medir” el experimento no es completo. Me gustaría saber si la limitación de la velocidad de la luz al “medir” cambia el resultado del experimento. Muchas gracias x tu tiempo. El blog está genial.

    • Hola,

      Lo que hay que tener claro ante todo es que el experimento mental del tren NO ES LA PRUEBA DE LA RELATIVIDAD. Es una explicación simplificada diseñada posteriormente en la cual hay que suponer que los dos observadores miden instantáneamente y sin error dónde está la luz en cada instante. Si quieres tener en cuenta que eso no es posible para ellos, te estás saliendo de las condiciones del experimento.

      No puedes intentar comprender la relatividad a partir de llevarlo a la realidad. Es como si intentas comprender la biología humana basándote en un ejemplo simplificado de la serie “El cuerpo humano” donde los glóbulos rojos hablan entre ellos.

      Y uno de los principales problemas de este ejemplo, como expliqué aquí, https://estudiarfisica.com/2015/04/21/charlatanes-y-einstein-una-relacion-de-amor-odio/ , es que demasiadas personas se lo toman literalmente e intentan desmentir la relatividad a partir del error de pensar que se habla de observadores humanos que necesitan que la luz llegue a sus ojos para medir, en lugar de observadores ideales que están en todas partes y miden sin error.

      En resumen: la relatividad especial no nace de este experimento mental, y es una pésima idea intentar desmentirla o profundizar en ella a partir de él.

  3. Muchas gracias Adrián. Está clarísimo. La verdad es q tus puntos de vista, tus explicaciones, son las q quisiera uno encontrar en un libro de estudio. En buena hora q puedas dedicarte a enseñar y divulgar desde está posición. Felicidades.

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

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