4. TEORÍA DE CAMPOS TRIDIMENSIONAL

4.1. El producto vectorial
4.2. Las integrales de longitud, área y volumen
4.3. La circulación

Trabajo con fuerzas conservativas.

Durante los primeros capítulos, al hablar del trabajo producido por una energía potencial, explicamos que este era siempre igual a la variación de energía cinética que se producía sobre el cuerpos. Este resultado es general para cualquier tipo de fuerza y en cualquier cantidad de dimensiones. Sin embargo, no todas las fuerzas tienen una energía potencial asociada que dependa de las coordenadas (no todas son conservativas), y por tanto no siempre se puede relacionar la variación de energía cinética con la variación de energía potencial de forma sencilla. Esta es, por supuesto, otra «maravillosa» característica de los campos magnéticos. Durante este capítulo, sentaremos las bases para analizar lo que sucede cuando una fuerza (o un campo vectorial genérico) no surge en oposición al gradiente de una energía potencial (o un campo escalar genérico).

El trabajo es la integral de una fuerza a lo largo de una curva. En una dimensión podíamos escribir esto como una integral sobre el eje x, pero en dimensiones superiores es necesario redefinir el concepto y adaptarlo a cualquier tipo de curva. En general, una trayectoria la podemos clasificar en función de un parámetro, como el tiempo, de modo que para cada instante dado se le puede asignar un lugar concreto. Para ver claro que no tiene que ser el tiempo sino cualquier otro parámetro el que empleemos, escribiré todo en función de λ:

A partir de esta expresión, podemos definir el vector principal que marcará la dirección de la curva tal y como vimos el capítulo anterior:

Y teniendo esto tenemos que reflexionar sobre una cosa. Cuando una fuerza F empuja un cuerpo, si esta está inclinada con respecto a la dirección en la que el cuerpo se mueve finalmente no contribuirá al incremento de su energía cinética. Esto será debido a la presencia de otras fuerzas que se opongan. Por ejemplo, si empujamos algo hacia delante, pero apretamos el brazo con una cierta inclinación hacia abajo, el suelo evitará que se hunda con una fuerza de reacción. De modo que no es toda la fuerza la que realiza trabajo, sino la que se proyecta sobre la dirección de movimiento. Esto es tanto como decir que para calcular el trabajo W debemos involucrar un producto escalar:

En el caso de que elijamos que λ sea el tiempo, es directo demostrar que:

Y en el caso de que sepamos que la fuerza procede del gradiente de una energía potencial (es decir, es conservativo), es posible igualar el trabajo como opuesto a la variación de la energía potencial:

Dado que nuestra energía potencial dependerá únicamente de las coordenadas, el trabajo que realiza un campo conservativo sobre un cuerpo si este regresa al mismo lugar tiene que ser nulo. En particular, un campo es conservativo si el trabajo realizado a través de cualquiera trayectoria cerrada cerrada que regrese al mismo punto es nulo.

Otra cuestión relevante es que el trabajo realizado por un campo conservativo cuando un cuerpo se desplaza entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre ambos. Dado que la variación de energía potencial solo depende del punto inicial y el final, es irrelevante conocer lo que haya pasado por el medio.

Veamos un ejemplo de cómo encaja esto.

Considera la energía potencial Ep=-x*y+z.
a) Calcula su fuerza asociada.
b) Verifica que si un cuerpo sigue la trayectoria (λ,λ,λ), cuando λ=2 estará en el punto (2,2,2) y cuando λ=4 estará en el punto (4,4,4).
c) Calcula el trabajo que realiza la fuerza al moverse un cuerpo siguiendo la trayectoria (λ,λ,λ) cuando λ toma valores entre 2 y 4 integrando sobre la misma.
d) Verifica que si un cuerpo sigue la trayectoria (2^λ,2^λ,2^λ), cuando λ=1 estará en el punto (2,2,2) y cuando λ=2 estará en el punto (4,4,4).
e) Calcula el trabajo que realiza la fuerza al moverse un cuerpo siguiendo la trayectoria (2^λ,2^λ,2^λ) cuando λ toma valores entre 1 y 2 integrando sobre la misma.
f) Calcula la energía potencial en los puntos (2,2,2) y (4,4,4).
g) Calcula el trabajo como la variación de energía potencial.

a) Para calcular la fuerza únicamente tenemos que obtener el gradiente.

b y c) El primero no tiene ningún misterio. En el segundo tenemos que hacer varias cosas. La primera es calcular el vector director de la trayectoria ∂λ, la segunda realizar el producto escalar con la fuerza dentro de la integral, y la última reescribir todo en términos de λ:

d y e) Procedemos igual que antes. La derivada de la exponencial se puede revisar en la entrada sobre reglas de derivación. Las operaciones se complican un poco, pero la gracia es ver que el resultado será el mismo siguiendo esta trayectoria que la anterior:

f y g) Se realizan directamente:

La conclusión es clara: el trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos es independiente de la trayectoria elegida y, si conocemos la energía potencial en ambos puntos, ni siquiera es necesario realizar la integral.

Circulación.

Denominamos la circulación de un campo vectorial F a lo largo de una trayectoria r a la integral de dicho campo sobre dicha trayectoria, es decir:

Si un campo vectorial representa una fuerza, su circulación sobre una trayectoria es igual al trabajo, y si es conservativo además es opuesta a la variación de su energía potencial.

Pero la circulación no tiene por qué ser de fuerzas, sino que puede ser de cualquier campo vectorial en general. Por ejemplo, la circulación del campo eléctrico es opuesta a la variación del potencial eléctrico o voltaje:

A la circulación del campo eléctrico, por cuestiones históricas, también se la denomina fuerza electromotriz. No es una fuerza, y ni siquiera tiene unidades de fuerza, pero como veremos al analizar próximamente la ley de Faraday, es la principal forma de generar movimiento en motores electromagnéticos.

Circulación de un campo no conservativo a través de una trayectoria cerrada.

Hemos visto que si un campo es conservativo, su circulación o trabajo a lo largo de una trayectoria que vuelva al mismo punto es nula. Ahora bien, falta echar un ojo a lo que sucede si el campo no es conservativo.

Pongamos por caso que nuestro campo se llama F y queremos conocer su circulación a través de un cuadrado. Pongamos por caso que dicho cuadrado es aquel definido por la siguiente trayectoria:

• Lado 1: Partimos del punto (0,0,0) y nos desplazamos hasta (1,0,0) siguiendo la trayectoria (x,0,0) entre x=0 y x=1.
• Lado 2: Partimos del punto (1,0,0) y nos desplazamos hasta (1,1,0) siguiendo la trayectoria (1,y,0) entre y=0 y y=1.
• Lado 3: Partimos del punto (1,1,0) y nos desplazamos hasta (0,1,0) siguiendo la trayectoria (x,1,0) entre x=1 y x=0.
• Lado 4: Partimos del punto (0,1,0) y nos desplazamos hasta (0,0,0) siguiendo la trayectoria (0,y,0) entre y=1 y y=0.

Un ejemplo podemos verlo a continuación.

Calcula la circulación a través del cuadrado indicado del campo no conservativo (y,-x,0).

Lado 1: La circulación resulta ser nula al estar en un tramo donde y=0 y ser lo que toca integrar.

Lado 2:

Lado 3:

Lado 4:

Y sumando las cuatro circulaciones, tenemos que la circulación total sobre todo el cuadrado es:

Que no se anula pese a regresar al mismo punto.

Si el campo con el que hubiésemos calculado la circulación fuese conservativo, habríamos podido aplicar que la circulación neta sería opuesta a la variación de energía potencial, que al regresar al mismo punto daría 0. Pero no es el caso. Ahora bien, ¿no hay ninguna forma más sencilla de calcular la circulación sin tener que recurrir a realizar las cuatro circulaciones de cada lado del cuadrado?

Teorema de la circulación, del rotacional o de Stokes.

Vamos a ver ahora que existe un truco matemático extremadamente elegante para resolver el ejercicio anterior realizando tan solo dos operaciones. El truco fue descubierto por el matemático Gabriel Stokes durante el siglo XIX, y todos los que tenemos que lidiar con el cálculo de circulaciones de campos no conservativos sobre trayectorias cerradas debemos estarle muy agradecidos.

El problema anterior, si escribimos entre paréntesis las coordenadas, se resolvía con la siguiente macroecuación:

Ahora, considerando que el producto escalar de F con ∂x da lugar a la componente Fx de la fuerza, y lo mismo con Fy, tenemos:

Podemos simplificar aún más la expresión teniendo en cuenta que la integral entre 0 y 1 es opuesta a la integral entre 1 y 0 y agrupando:

Y ahora podemos hacer la siguiente consideración. Una función unidimensional en un punto b menos la misma función en el punto a es igual a la integral de la derivada de dicha función entre el punto a y b:

Esta relación sigue siendo correcta en dimensiones superiores, solo que empleando derivadas parciales con la variable que se integre:

Lo cual nos lleva, aplicado a nuestro caso, a que:

Comprobemos que esta última fórmula funciona.

Resuelve el ejercicio anterior empleando el método de Stokes.

Tal y como prometí, obtenemos el mismo resultado en solo dos pasos (uno, en realidad).

Ver cómo se ha simplificado el cálculo sorprende, sobre todo porque no resulta muy intuitivo. ¿Cómo es posible que la fórmula que acabamos de escribir ofrezca el mismo resultado? Aunque ya la hemos ido demostrando haciendo todas las operaciones, vamos a contextualizarla un poco.

Como ya explicamos en el capítulo acerca del gradiente, si un campo es conservativo sus derivadas cruzadas cruzadas deben coincidir. Esto es lo mismo que decir que si un campo no es conservativo sus derivadas cruzadas no coinciden. De modo que un campo no es conservativo si alguna de las siguientes ecuaciones no se cumple:

El campo con el que hemos trabajado en el ejemplo incumple, concretamente, la tercera igualdad, y ello repercute en que al calcular su circulación a través de una trayectoria cerrada aparezca la diferencia entre las derivadas cruzadas para ser integrada. Si el campo hubiese sido conservativo, la integral a la que hemos llegado siempre daría cero como consecuencia de la tercera igualdad. En esencia, el método de Stokes nos dice que la circulación no nula de los campos no conservativos es consecuencia de que sus derivadas cruzadas no coincidan.

Para generalizar esto, necesitaremos un nuevo concepto. Llamamos rotacional de un campo vectorial al producto vectorial al producto vectorial de la derivada vectorial por dicho campo:

Y, a partir de aquí, podemos decir que un campo vectorial F no es conservativo si su rotacional no es nulo, y viceversa. Además, si el rotacional de un campo es nulo sabemos que es conservativo. En esencia, esto es lo mismo que hicimos en el capítulo del gradiente, solo que ampliado.

Y ahora sí, veamos lo que dice el teorema de Stokes:

La circulación de un campo vectorial a través de una trayectoria cerrada es igual a la integral del rotacional de dicho campo sobre el área de cualquier superficie cuyo borde sea la trayectoria en cuestión, considerando el vector perpendicular a esta en la dirección desde la cual la circulación se produce en sentido antihorario.

Antes de analizar con detalle qué significa esto, veamos la formulación matemática:

En esta última ecuación, el redondel en la primera integral implica que la trayectoria es cerrada y acaba en el mismo punto. El vector A en la segunda era el que obtuvimos en la entrada anterior acerca de integrales de área.

¿Y qué significa todo el rollo de antes? Aunque pueda parecer que es pedantería, en realidad es imposible explicar el teorema con menos palabras. Cuando indicamos la circulación a través de una curva cerrada, existen dos sentidos para recorrerla, uno antihorario y otro horario (según si gira de forma contraria o tal y como lo hacen las agujas de un reloj). Además, esta orientación depende del lado desde el cual miremos la curva. Por ese motivo, es necesario aclarar que el vector área debe elegirse de modo que salga hacia el sentido en el cual la circulación transcurra en sentido antihorario.

El teorema de Stokes que acabamos de exponer representa solo uno de una familia de teoremas relacionados con intercambiar integrales sobre figuras de una cierta dimensión (tales como curvas) por integrales de dimensión superior (tales como superficies) y viceversa. En el siguiente capítulo veremos el teorema de Gauss (bueno, uno de ellos), que permite intercambiar una integral de área por una de volumen.

ACTIVIDADES RECOMENDADAS
1. Repite el ejercicio de la circulación sobre el cuadrado de las dos formas que hemos visto para el campo F=(1+y^2,x,0), comprobando que dan el mismo resultado.
2. Repite el ejercicio anterior con el campo F=(x*y,y,1).