4. TEORÍA DE CAMPOS TRIDIMENSIONAL

4.1. El producto vectorial
4.2. Las integrales de longitud, área y volumen
4.3. La circulación
4.4. El flujo

Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.

¿Cómo varía el campo gravitatorio en el interior de la Tierra? ¿Cuál es el campo eléctrico que crea una placa cargada? ¿Cómo varía la velocidad a la que fluye un líquido por un sistema de cañerías si estas se estrechan? Estas preguntas, aunque parezcan bastante diferentes, tienen una respuesta simple de explicar gracias a uno de los mayores genios matemáticos de la historia: Carl Gauss. En este capítulo nos adentraremos en las matemáticas y las implicaciones de su teorema del flujo, y daremos respuesta a nuestros interrogantes.

Pero antes de nada, ¿qué es el flujo de un campo vectorial? Supongamos que tenemos una superficie, cuyo diferencial de vector área en un punto dado es dA. El flujo de un campo vectorial F a través de dicha superficie es:

Con este concepto de flujo, relacionándolo con el capítulo anterior, podríamos decir que el teorema de Stokes relaciona la circulación de un campo a través de una curva cerrada con el flujo de su rotacional sobre la superficie que encierra dicha curva.

Su cálculo resulta muy sencillo.

Tenemos un cuadrado definido por la región del espacio en la cual z siempre vale 1 y x e y oscilan entre los valores 0 y 3. Calcula el flujo a través del mismo del campo F=(x,y,z).

En primer lugar, tenemos que obtener el vector A de la superficie del plano. Dado que tiene que ser perpendicular a ella, nos sirve el vector (0,0,1). (Si la dirección es una de las tres principales y estamos trabajando con coordenadas cartesianas el módulo siempre es 1. A partir de ahí, podemos integrar:

Los flujos sobre planos ahora no nos van a interesar mucho, así que aprovecharemos para ir directos al grano calculando el flujo sobre una superficie cerrada. Supongamos que tenemos un cubo definido del siguiente modo:

• Tapa 1: z=0 y x,y variando entre 0,1.
• Tapa 2: z=1 y x,y variando entre 0,1.
• Tapa 3: y=0 y x,z variando entre 0,1.
• Tapa 4: y=1 y x,z variando entre 0,1.
• Tapa 5: x=0 e y,z variando entre 0,1.
• Tapa 6: x=1 e y,z variando entre 0,1.

Para calcular un flujo completo sobre esta superficie, habría que integrar sobre sus seis tapas, pero además los vectores área deberían estar orientados de forma coherente. Al calcular el flujo sobre una superficie cerrada, el protocolo es fijar que los vectores área apunten siempre hacia fuera. De modo que la tapa 1, que sería la de debajo, tendría por vector área (0,01), la tapa 2, la de arriba, el (0,0,1), y etc.

Pongamos esto en práctica.

Calcula el flujo a través de la superficie del cubo anterior del campo F=(z,x^2,e^z).

Por tapas, tenemos:

Las operaciones se han vuelto un poco largas, pero a la luz de lo visto y anticipado en el capítulo anterior, seguro que nadie se va a sorprender de saber que existe una forma mucho más rápida de llegar al mismo resultado.

Teorema del flujo, de la divergencia o de Gauss.

Recurriendo a manipulaciones similares a las que ya vimos en el capítulo anterior, es posible reducir el cálculo de nuestro flujo de una superficie cerrada del siguiente modo:

En esta ocasión el concepto nuevo que surge es el de divergencia de un campo vectorial, el cual resulta de multiplicar escalarmente la derivada vectorial por el campo:

Y el teorema de Gauss establece lo siguiente:

El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de su divergencia en el volumen encerrado.

Como se puede apreciar, es más sencillo de escribir que el de Stokes, y se expresa del siguiente modo:

Comprobemos que funciona.

Calcula el flujo del ejercicio anterior aplicando el método de Gauss.

¿Cuál es la enseñanza que tenemos que sacar del teorema de Gauss? En esencia, que al calcular el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada tan solo son relevantes las componentes del campo que dependan de la misma coordenada a la que están asociadas. En nuestro ejemplo, Fx no dependía de x, con lo que daba igual de cara a calcular el flujo. Lo mismo se puede decir de Fy. Fz, sin embargo, sí dependía de z, con lo que finalmente fue el único término que contribuyó al flujo total.

Manantiales y sumideros.

Toda la teoría de campos comenzó a desarrollarse de este modo en pleno apogeo de la física de fluidos, y la mayoría de estos conceptos se desarrollaron en física destinados no a analizar energías y fuerzas, sino densidades de fluidos y velocidades de los mismos en cada lugar del espacio. Así, la circulación de un fluido mediría la cantidad de este que circulaba por una sección y el flujo la cantidad que atravesaba una superficie.

En general, en una superficie cerrada imaginaria dentro de una cañería lo idóneo sería que el flujo siempre fuese nulo, de modo que todo el líquido que entrase en ella por un lado se contrarrestase con el que saliese con el otro. Si esto no era así, la divergencia del fluido en el interior de la superficie no era nula. Si esto sucedía, la superficie podía ser clasificada de dos modos:

• Manantial, si salía de ella más líquido de la que entraba y por tanto la divergencia era positiva.
• Sumidero, si entraba en ella más líquido del que salía y por tanto la divergencia era negativa.

Si denominamos v al campo de velocidades del fluido en cada punto de una cañería o donde quiera que se encuentre, el flujo de fluido a través de una superficie cerrada se podría calcular del siguiente modo, teniendo en cuenta que a mayor densidad mayor la cantidad de masa desplazada:

Las unidades de dicho flujo serían de kg/s. Pero, por lógica, el flujo de fluido hacia fuera también tendrá que ser opuesto a la derivada de la masa de fluido dentro de la superficie con respecto al tiempo:

De modo que podemos llegar a:

Pero por el teorema de Gauss, también debe ser cierto que:

E, igualando con la expresión anterior y teniendo en cuenta que la masa es la integral de su densidad en el volumen:

Y esta última ecuación es la forma seria de establecer el teorema de conservación de la masa. En esencia dice que los manantiales de fluido están producidos por la reducción de la masa de fluido dentro de una región con el tiempo, y los sumideros lo contrario. El mismo razonamiento nos llevaría al teorema de conservación de la carga eléctrica, donde los manantiales de campo eléctrico tendrían que ser densidades de carga positiva, y los sumideros densidades de carga negativa. Procede recordar de nuevo que en tanto que la masa se puede entender como una carga gravitatoria tiene sentido que la misma ecuación pueda reflejar ambas ideas.

La aplicación del teorema de conservación de la masa del fluido a una cañería, nos lleva a la conclusión de que si tenemos un tubo con una entrada dada por un área A1 y una salida dada por un área A2, si en su interior no hay manantiales ni sumideros se tiene que cumplir:

Expresión conocida como ecuación de continuidad del caudal. Si la velocidad con la que el fluido entra por la primera cara y sale por la segunda es perpendicular a ambas, entonces se su producto escalar es igual al producto de sus módulos. Y, si la velocidad es constante en cada tapa, tenemos:

El primer signo menos surge del hecho de que en la primera superficie el fluido entra, y por tanto, es antiparalelo al vector superficie que apunta hacia fuera (tienen sentidos opuestos).

La conclusión es que, para que el caudal se conserve, si el área en un lado es mayor, la velocidad tendrá que ser menor.

Sumideros de gravedad.

Es posible reproducir toda la gravitación universal de Newton, igual que con su energía potencial o con su fuerza, a partir de las dos ecuaciones de campo del campo gravitatorio (valga la redundancia):

La primera ecuación nos dice que las densidades de masa hacen de sumideros de campo gravitatorio, absorbiéndolo en su interior sin que salga por ningún sitio. La segunda nos dice que el campo gravitatorio es conservativo y, por tanto, existe una energía potencial asociada. No existen, en principio y que sepamos, manantiales gravitatorios. Serían algo así como masas negativas que provocarían un cambio de signo en las ecuaciones y repelerían a las masas positivas.

De la primera ecuación y el teorema de Gauss podemos llegar a las siguientes dos expresiones para el flujo gravitatorio sobre una superficie cerrada:

La primera nos dice algo muy relevante, que es que el flujo gravitatorio a través de una superficie cerrada cualquiera siempre es negativo y proporcional a la cantidad de masa encerrada dentro de dicha superficie, no en el exterior. Esto significa que cualquier región del espacio que no contenga masa no contendrá tampoco flujo gravitatorio: entrará tanto gravitatorio como el que salga o bien no entrará ni saldrá ninguno.

Pensemos en la superficie de la Tierra como una superficie cerrada encerrando una gigantesca masa M. El flujo gravitatorio sobre dicha superficie será:

Y, dado que el campo gravitatorio será antiparalelo a la superficie terrestre (va hacia dentro) y no hay diferencias en su valor sobre esta (suponiendo la Tierra perfectamente esférica), podemos cambiar la integral de la izquierda por un producto de módulos con signo negativo:

Por último, sabiendo la fórmula de la superficie de la esfera llegamos a la conclusión de que la gravedad superficial se puede calcular como:

Este es el modo en el cual la teoría de campos basada en divergencias y rotacionales encaja con todo lo que ya sabíamos. El campo reduciéndose con la distancia al cuadrado puede entenderse como una consecuencia de que sea el cociente entre la masa encerrada y el área de la esfera. Esta es una implicación que aumenta la elegancia del modelo de Newton.

El resultado obtenido es generalizable para cualquier distancia exterior a la Tierra, ya que la masa encerrada seguirá siendo la misma (ignorando la Luna cuando llegue el caso). No obstante, confiar demasiado en el teorema de Gauss sin comprender sus limitaciones puede llevarnos a desaprender cosas que ya sabíamos.

Pongamos el siguiente ejemplo. Tenemos un astronauta flotando en el espacio a cierta distancia de la Tierra. Con el mismo procedimiento podremos calcular la gravedad a la que estará sometido. Sin embargo, alguien podría considerar que el astronauta también está pegado a una esfera cualquiera rellena de vacío sobre la cual el flujo es nulo. Y haciendo eso, sería un error considerar que si el flujo es nulo entonces no hay gravedad. Para que una cosa conlleve la otra, el campo gravitatorio tiene que ser perpendicular a la superficie y no variar su valor de un sitio a otro.

Pero vayamos ahora con estos conceptos al interior de la Tierra a ver qué sucede. En esencia, a una distancia interior r, menor que el radio terrestre rT, el teorema de Gauss nos dice que tan solo contribuye al flujo gravitatorio la masa encerrada dentro de la esfera interior con dicho radio. Si a esto le sumamos la aproximación de que la densidad de la Tierra es uniforme en todo su interior, sin variar, llegaríamos a lo siguiente:

La idea es que la gravedad, dentro de la Tierra o cualquier otro astro similar, es proporcional a la distancia al centro. Además, una conclusión relevante es que en el centro de la Tierra no hay gravedad. Una forma alternativa de comprender ese resultado es que todas las partes de la Tierra tirarían gravitatoriamente hacia fuera en todas direcciones, y dichos empujones se cancelarían entre ellos.

No debería hacer falta recordarlo, pero en las últimas ecuaciones estamos hablando en todo momento del módulo del campo gravitatorio, con lo que aunque los resultados sean positivos la gravedad seguiría tirando hacia el centro de los cuerpos.

Electrostática.

En el caso del campo electrostático, si denotamos por ρ a la densidad de carga, sus ecuaciones serían:

De modo que habrá manantiales o sumideros según el signo de la densidad de carga. Tras integrar, se obtiene como resultado que el flujo electrostático sobre una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada en su interior:

Y, en condiciones de simetría esférica similares a la de la Tierra, se obtiene que el módulo del campo eléctrico ha de reducirse también con el cuadrado de la distancia:

Expresión conocida como la ley de Coulomb y que ya hemos visto montones de veces con anterioridad.

Para concluir este capítulo, analizaremos una propiedad interesante del campo eléctrico creado por placas infinitas que se razona con ayuda del flujo eléctrico que acabamos de ver.

Pongamos por caso que tenemos una placa plana infinita, la cual posee una densidad superficial de carga σ, medida en C/m^2. Podemos envolverla (teóricamente) con otros dos planos infinitos a la misma distancia a cada lado. A partir de ahí, se tiene que cumplir que el flujo eléctrico sobre ambos planos debe ser proporcional a la carga de la placa central:

Donde el 2 procede de que hay dos planos rodeando (uno a cada lado) y al final indicamos que la carga de la placa central ha de ser su densidad superficial de carga multiplicada por la superficie. En la integral de la izquierda, el campo eléctrico cabe esperar que sea perpendicular a los planos, con lo que se convierte en un producto de módulos, y podemos despejar el campo eléctrico independientemente del área… ¡y de la distancia a las placas!:

Es decir, que si una placa cargada es infinita, el campo eléctrico es el mismo a cualquier distancia sin reducirse y perpendicular a la misma. Que no se reduzca parece que va contra toda intuición, pero en realidad lo que sucede es que se está malinterpretando. El campo eléctrico mide cómo aumenta o se reduce el potencial electrostático a medida que uno se aleja de la placa, con lo cual que el campo eléctrico sea uniforme solo significa que el potencial decae al mismo ritmo a cualquier distancia. Además, esto implica que la variación de potencial electrostático entre dos placas lejanas es igual al producto del campo eléctrico entre ambas por la distancia.

Y precisamente colocar placas cargadas positiva y negativamente unidas por un cable fue lo que hizo a principios del siglo XIX Alessandro Volta para diseñar la primera pila y, con ella, dar comienzo a la física de las corrientes eléctricas.

En el próximo capítulo veremos que con las corrientes eléctricas se empezó a descubrir, a principios del siglo XIX, toda la física de los fenómenos magnéticos, y cómo estos involucraban aparentemente un campo no conservativo y cuyas expresiones matemáticas relacionadas están plagadas de productos vectoriales.

ACTIVIDADES RECOMENDADAS
1. Calcula el flujo sobre el cubo de ejemplo producido por el campo (x,x*z,x*z) por los dos métodos vistos, comprobando que el resultado es equivalente.
2. Sabiendo que la masa de la Tierra es de 5,97*10^24 kg, y que su radio es de 6,37*10^6 m, calcula:
a) El volumen de la Tierra.
b) La densidad de la Tierra.
c) El campo gravitatorio a una distancia de 5*10^6 m del núcleo suponiendo una densidad uniforme.
3. Una placa infinita tiene una densidad de carga de 7 μC/m^2. Calcula el campo eléctrico que produce a cualquier distancia.
4. Una civilización futura decide emplear la gravedad como forma de viaje natural y rápida entre dos extremos opuestos de la Tierra. Para ello cavan un túnel que une dichos extremos y pasa por el centro de la Tierra. Al soltar un cuerpo por un extremo, caería hasta el centro y su energía cinética le empujaría hasta el extremo opuesto, hasta el cual llegaría en reposo. La fuerza sería de la forma a=-k*r, donde k es 4*π*G*ρ/3. Relacionando el proceso con un oscilador armónico, calcula la velocidad angular de la oscilación asumiendo ω=raíz(k) y el periodo que llevaría a un cuerpo suelto ir desde una punta de la Tierra hasta la otra y volver.