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Estudiar Física de Bachillerato (20): El campo magnético

4. TEORÍA DE CAMPOS TRIDIMENSIONAL

4.1. El producto vectorial
4.2. Las integrales de longitud, área y volumen
4.3. La circulación
4.4. El flujo
4.5. El campo magnético

Las cargas eléctricas.

En los capítulos previos hemos introducido los conceptos de producto vectorial, circulación y flujo, conceptos que como anticipamos se vuelven completamente necesarios para poder trabajar con el concepto de campo magnético. Ha llegado, por fin, la hora de entrar en materia y ver cómo van teniendo utilidad cada uno, en caso de que no se considerase suficientemente útil todo lo ya visto.

Así que, ¿qué es y qué pasa con el campo magnético? Para poder irlo explicando con calma, tenemos que aprovechar esta ocasión para hablar de la historia de los descubrimientos acerca del electromagnetismo, ya que siempre que hablamos de electrostática lo hemos ido posponiendo.

Desde la antigüedad se conocían la mayoría de los fenómenos electromagnéticos elementales: los rayos, la atracción y repulsión entre ciertos tipos de minerales, los chispazos… Otros fenómenos electromagnéticos, como la luz o el hecho de que no podamos atravesar sólidos, también eran conocidos aunque no relacionados con los anteriores. De hecho, se desconocía en general la relación entre todo ello. En algunos lugares del planeta, como el Nilo, además les constaba que algunos peces eran capaces de producir pequeños chispazos.

Hacia el siglo XVII, en pleno renacimiento, el método científico ya había permitido constatar que había diferentes formas de atracción y repulsión entre minerales. Por un lado estarían aquellos cargados eléctricamente, que al juntarlos o bien se atraían o bien se repelían. Por el otro, los imanes, que se atraían o se repelían entre ellos según su orientación.

La experimentación y documentación rigurosa permitieron concluir acertadamente que los minerales cargados eléctricamente podían tener dos tipos de carga, la positiva y la negativa. El signo se eligió por cuestiones de convenio, con lo que en caso de haberse elegido al revés a día de hoy llamaríamos cargas positivas a las negativas y viceversa, y no pasaría nada.

A mediados del siglo XVIII Benjamin Franklin, uno de los Padres Fundadores de los Estados Unidos, realizó otro avance muy importante al unificar la electrostática de los minerales con la física de los rayos. Para ello, en un día de tormenta puso a volar una cometa con una llave de metal colgando de ella. Al hacer descender la cometa, comprobó que la llave se había cargado. Así que confirmó, de un modo un tanto arriesgado, que los rayos que caen del cielo son el mismo fenómeno que los chispazos entre minerales cargados de forma opuesta. La clasificación de las cargas en positiva y negativa, además, se debe al mismo autor.

A finales del mismo siglo, por último, Charles-Augustin de Coulomb zanjó la cuestión electrostática comprobando en laboratorio cuál era la expresión matemática que indicaba la fuerza que se producía entre cargas. Para ello, ubicó cargas separadas a una cierta distancia y midió las aceleraciones que se producían con gran precisión. Su experimento, el experimento de Coulomb, se experimentó en otro realizado años antes por Henry Cavendish para confirmar la atracción gravitatoria que Newton predecía entre masas cualquiera que fuese su tamaño.

Sin embargo, todos los avances en el estudio de las cargas eléctricas fueron insuficientes para que los físicos de la época encontrasen una explicación para el fenómeno de los imanes. En efecto, estaban convencidos de que no tenían gran cosa que ver con la electrostática, y no se les puede culpar por ello, ya que como veremos en el bloque de relatividad el magnetismo es una consecuencia de que el tiempo dependa de los observadores.

No obstante, antes de que Einstein pudiese dar esa explicación a principios del siglo XX, durante el siglo XIX toda la comunidad de físicos se empeñó en que el magnetismo era algo independiente, llevando al desarrollo de las horribles ecuaciones con las que trabajaremos en lo que queda de bloque. Cabe destacar, no obstante, que a día de hoy sigue habiendo quienes consideran el magnetismo una interacción tan fundamental como la electrostática, detallaremos por qué un poco más adelante.

Corrientes eléctricas.

El dominio de las ecuaciones de la electrostática llevó rápidamente al desarrollo de los primeros circuitos. Como vimos en el capítulo anterior, al colocar una placa cargada en el espacio esta producía a sus lados un campo eléctrico más o menos constante a cualquier distancia (el “más o menos” por no ser las placas reales infinitas). Este resultado matemático es equivalente al que se daba en la gravedad de Galileo, donde el campo gravitatorio es constante independientemente de la altura. Y, como en aquel, el potencial eléctrico a una cierta distancia de la placa es proporcional a dicha distancia:

Potencial Placa.PNG

Si se colocan dos plazas cargadas de forma opuesta en paralelo, el campo eléctrico entre ellas se duplica, apuntando desde la placa negativa hacia la positiva. Así, si entre ambas colocásemos una carga negativa se movería hacia la placa positiva, y si colocásemos una positiva se movería hacia la negativa.

Cuando Volta empezó a desarrollar las primeras placas voltaicas para producir movimiento en las cargas intermedias y así dar lugar a la corriente eléctrica, fue necesario introducir el concepto de intensidad a través de un cable. Las cargas por aquel entonces no se sabían aislar, y de hecho ni siquiera existían los conceptos de electrón o protón, pero sí se sabía que los metales estaban relacionados con ellas (hoy en día sabemos que absolutamente todos los elementos lo están en tanto que todos los átomos y moléculas se fundamentan en el electromagnetismo). Así que al ubicar un hilo metálico entre dos placas se producía un movimiento que conllevaba un transporte de energía e incluso chispazos, pero no tenían ni idea de qué era exactamente lo que se movía. La electricidad era concebida como un fluido continuo, del mismo modo que todo el resto de la materia. Y, por tanto, se denominó intensidad i a la cantidad de carga que atravesaba un cierto área en un cierto instante (C/s):

Intensidad.PNG

Cabe destacar que, por su definición históricamente errónea, la intensidad presupone que lo que se mueven son cargas positivas, y por tanto cuando un físico dice que un cable tiene una cierta intensidad “hacia arriba” a través de un cable, en realidad los electrones se estarán moviendo “hacia abajo”. La intensidad, en suma, se definió al revés de lo que hubiera sido razonable, como el signo de las cargas.

Dado que los cables no son unidimensionales, sino que tienen una cierta sección, resulta conveniente definir la densidad de corriente j, de modo que represente la intensidad por cada metro cuadrado de sección de cable:

Densidad Corriente.PNG

Igualando todo, aplicando el teorema de Gauss a la izquierda y despejando, obtenemos el teorema de conservación de la carga ya visto el capítulo anterior:

Conservación Carga.PNG

Comparando con dicha expresión ya vista, resulta obvio, además, que la densidad de corriente es igual al producto de la densidad de carga por la velocidad de cada carga individual v:

Densidad Corriente 2.PNG

El teorema de conservación de la carga puede parecer una cuestión irrelevante de comentar, pero como veremos más adelante durante más de cuarenta años la física del magnetismo dio por correcta una ecuación que iba en su contra sin que nadie pareciese advertirlo.

Experimento de Oersted.

A comienzos del siglo XIX, mientras la electricidad comenzaba a dar sus primeros pasos para llegar a revolucionar la industria, comenzó a ser frecuente emplear circuitos en universidades para ilustrar a los estudiantes sus propiedades. Durante una clase, de forma imprevista, el físico Hans Oersted detectó que las corrientes eléctricas que estaba propagando alteraban un imán próximo.

Oersted.png

Experimento de Oersted. Al circular intensidad por el cable, la brújula (un imán) comienza a girar para colocarse de forma perpendicular a esta.

En particular, descubrió tras repetir el experimento varias veces que si se colocaban imanes en las proximidades de un cable con corriente estos se alineaban en la dirección de giro alrededor de dicho cable.

Los imanes se caracterizan por poseer un polo norte y un polo sur, los cuales funcionan igual que las cargas eléctricas en cuanto a atraerse y repelerse. Dos imanes unidos por el mismo polo se repelen, pero por polos opuestos se atraen. Sin embargo, a diferencia de lo que sucede en la electrostática, no es posible aislar un polo de un imán. Si lo rompemos por la mitad para tener un polo norte y un polo sur, irremediablemente surge el polo que falte en cada trozo. Este hecho, que a día de hoy sigue sin haberse desmentido, se conoce como la ley de ausencia de monopolos magnéticos. El hecho de que no haya ningún polo magnético individual y siempre se tengan que crear a pares es, a su vez, la principal evidencia que tuvieron en el siglo XIX acerca de que el magnetismo es un fenómeno derivado y no uno fundamental. No obstante, quienes a día de hoy quieren seguir defendiendo que el magnetismo es una interacción básica de la naturaleza apuestan porque en un futuro se encontrarán los dichosos monopolos magnéticos.

Pero volviendo al experimento que nos ocupa, lo que Oersted confirmó fue que los polos de los imanes en torno a un cable cargado se colocaban de forma perpendicular a la intensidad. Este hecho supuso la primera evidencia acerca de que el campo eléctrico influía en el magnetismo. Concretamente, que las corrientes eléctricas producen a su alrededor campos magnéticos solenoides que les dan vueltas.

Ahora bien, si los campos magnéticos alrededor de un cable dan vueltas en círculo, es imposible que tengan un potencial asociado. La razón es que si el campo magnético fuese el gradiente de un potencial tendría que indicar la dirección en la que este se reduce, y no tiene ningún sentido que un potencial se reduzca dando una vuelta completa y volviendo al mismo punto. En resumen, el campo magnético no es conservativo.

Como reacción a este descubrimiento, los físicos Jean Biot y Félix Savart formularon la ecuación que permitía calcularlo conociendo la velocidad de las cargas que lo generaban. Supongamos que tenemos una carga con una cierta velocidad en un punto r0 y que queremos calcular el campo magnético que produce en otro lugar r. En términos del vector r∼ que los une, el campo magnético B sería:

Biot Savart.PNG

Esquema Biot Savart.PNG

El campo magnético B da vueltas alrededor de la dirección de movimiento de la carga q de forma antihoraria.

En esta expresión, μ0 representa la permeabilidad magnética del vacío, que sería la constante del magnetismo, igual que aparece G en la gravedad de Newton o kE en la electrostática. Su valor es de 4*π*10^-7 kg*m/C^2, y resulta útil conocerlo en función de π porque, como en este caso, normalmente se pueden dividir.

De este campo magnético caben destacar algunas propiedades:

  • Si la carga en cuestión no tiene velocidad, tampoco produce campo magnético. El magnetismo nace del movimiento de las cargas.
  • Dadas las propiedades del producto vectorial, el campo magnético es perpendicular a la velocidad de la carga y al vector que la une con el punto donde lo queramos calcular.
  • El campo magnético en la dirección de movimiento de la carga es nulo ya que el producto vectorial de vectores paralelos es nulo.

Todo esto implica lo que ya habíamos comentado. Si una carga se mueve por un cable, no produce ningún campo magnético sobre el cable, pero sí alrededor de este, y dicho campo magnético es perpendicular a la dirección de movimiento de la carga (al cable) y además al vector que le une con ella. De modo que si nos alejamos del cable perpendicularmente, el campo magnético sigue la dirección angular alrededor del mismo. ¿Veis por qué el campo magnético es intrínsecamente odioso?

Comentemos algunas cosas también sobre las nomenclaturas:

  • El campo magnético en la actualidad se suele medir en teslas (T), su unidad del SI, en honor al célebre inventor Nikola Tesla, que diseñó durante el siglo XX la inmensa mayoría de formas de producir energía a partir de electromagnetismo que se usan en la actualidad.
  • La intensidad se suele medir en amperios (A), que es equivalente a C/s, en honor al físico André Ampêre, que como explicaremos el próximo capítulo estableció la ley principal del electromagnetismo y con ella, aunque no lo sabía, sentenció a muerte la mecánica que conocíamos desde Galileo.
  • El hecho de que el campo magnético se denote con la letra B es debido a una de las historias más cutres de la ciencia, pues cuando el célebre físico James Maxwell empezó a desarrollar matemáticamente el campo electromagnético a mediados del siglo XIX escogió la primera letra del abecedario que aún no tenía ningún significado físico.

Por último, es importante comenzar a hablar también del campo eléctrico en términos de “su otra constante”, la permitividad eléctrica del vacío, que vale:

Permitividad Eléctrica.PNG

Empleándola, las fórmulas del campo electrostático se ven modificadas y, por ejemplo, tenemos:

Electrostática.PNG

Y en la última ecuación podemos ver claramente que, obviando constantes, la principal diferencia entre el campo magnético y el eléctrico es que el magnético involucra a la velocidad multiplicando vectorialmente al vector r∼. Un detalle menor suficiente para romper con todo lo establecido hasta entonces. Pero además, un detalle que nos lleva a la conclusión correcta de que el campo magnético siempre es perpendicular al eléctrico.

Tenemos en el origen de coordenadas una carga de 3 nC con una velocidad de (0,4,0) m/s. Calcula:
a) El campo eléctrico y magnético en (1,0,0) m.
b) El campo eléctrico y magnético en (0,0,1) m.
c) El campo eléctrico y magnético en (0,1,0) m.

a) Se confirma fácilmente que los dos campos son perpendiculares al seguir direcciones diferentes. El eléctrico se aleja de la carga siguiendo por el eje x, y el magnético gira alrededor de ella de forma perpendicular a la velocidad.

Solución 1.PNG

b) Sucede algo parecido:

Solución 2.PNG

c) Al estar el punto ubicado en la dirección de movimiento de la carga, el eje y, no hay campo magnético:

Solución 3.PNG

En el próximo capítulo veremos cómo Ampêre echó por tierra los cimientos de la mecánica de Galileo al descubrir que la física de un sistema depende del estado de movimiento de quien lo observe, y cómo esto llevó irremediablemente a afianzar la errónea teoría del éter electromagnético.

ACTIVIDAD PROPUESTA.
1. Tenemos en el origen de coordenadas una carga de -1 nC con una velocidad de (1,2,-1) m/s. Calcula:
a) El campo eléctrico y magnético en (1,0,0) m.
b) El campo eléctrico y magnético en (0,0,1) m.
c) El campo eléctrico y magnético en (0,1,0) m.

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