4. TEORÍA DE CAMPOS TRIDIMENSIONAL

4.1. El producto vectorial
4.2. Las integrales de longitud, área y volumen
4.3. La circulación
4.4. El flujo
4.5. El campo magnético
4.6. La ley de Ampêre

Circulación magnética.

En el capítulo anterior comenzamos a adentrarnos en el mundo del campo magnético de las manos de Oersted, Biot y Savart, concluyendo que los cables por los que circulaba una cierta intensidad generaban un campo magnético no conservativo que daba vueltas a su alrededor.

Poco después, André Ampère establecería la ley de la circulación del campo magnético, o ley de Ampère, con la cual indicó que la circulación del campo magnético a través de una curva cerrada es proporcional a la intensidad que atravesaba el interior de dicha curva a través de la constante magnética:

Se puede escribir de otros modos, empleando la definición de circulación y después teniendo en cuenta el teorema de Stokes y la densidad de corriente:

Es decir, que el flujo del rotacional del campo magnético a través del interior de la curva es proporcional al de la densidad de corriente. Omitiendo las integrales, esto nos lleva a la ecuación del rotacional del campo magnético:

Y dado que el rotacional del campo magnético no es nulo es un campo no conservativo. Este rota alrededor de la dirección de la densidad de corriente.

En el caso del cable que estábamos analizando, si consideramos la circulación del campo magnético sobre una circunferencia alrededor de este, donde por simetría el campo magnético será uniforme y, además, paralelo a la dirección de giro, podemos cambiar la integral de la circulación por un producto de módulos:

Y, teniendo en cuenta la fórmula del perímetro l de la circunferencia, llegamos a:

Esta ecuación es la ley de Biot y Savart para el campo magnético alrededor de un cable recto. El resultado es diferente del que vimos en el capítulo anterior porque en este caso estamos considerando el efecto conjunto de todas las cargas del cable en movimiento, y no solo de una de la que conocemos su velocidad. La dirección y sentido de este campo magnético siguen siendo, eso sí, las que resulten de realizar el producto vectorial de la dirección de la corriente y el vector que una el cable al lugar donde queramos calcular el campo magnético.

Para dibujar el sentido del campo magnético hay un truco muy rápido. Si observamos el cable en el eje vertical, con la corriente ascendiendo, entonces el campo magnético da vueltas en sentido antihorario desde nuestro punto de vista. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos de intensidades circulando en diferentes direcciones y los campos magnéticos que crean a su alrededor. En los últimos ejemplos, donde la intensidad es circular, el campo magnético describe anillos rodeando todo el círculo. Las líneas discontinuas indican que el campo magnético pasa por detrás.

En el caso de que la corriente vaya en el sentido contrario el campo magnético girará en sentido horario. Mismo resultado que si giramos el cable para observarlo de modo que la corriente vaya hacia arriba.

Una cuestión importante es que cambiar el signo de la corriente (de carga positiva a carga negativa) es equivalente a tener una corriente con el mismo signo pero moviéndose en sentido contrario. Esto puede entenderse así: carga positiva moviéndose hacia arriba tiene el mismo efecto que carga negativa moviéndose hacia abajo, y viceversa.

Existe un modo de expresar matemáticamente el campo magnético en todo el espacio de forma vectorial, en función de las coordenadas del punto donde se quiera calcular y la dirección de la intensidad. No obstante, excede bastante lo que se suele explicar y optaré por dar ecuaciones más simples pero menos generales.

Dado que todos los problemas relacionados con cables y campos magnéticos se suelen plantear en las pruebas de la universidad basados en el plano, consideraremos que nuestros cables únicamente podrán ser paralelos al eje x o al eje y. Como consecuencia, dado que el campo magnético deberá ser perpendicular a ellos y a la dirección que lo una a los cables, siempre llevará la dirección del eje z, bien sea hacia arriba, bien sea hacia abajo. Se pueden renombrar los ejes si el problema así lo requiriese.

En el caso de que el cable estuviese tendido en la dirección positiva del eje y, con una intensidad dirigida hacia sus valores positivos y pasando por x=x0, la componente z del campo magnético será, a la altura del cable:

De este modo conseguimos que a la derecha del cable (x>x0) el campo magnético vaya hacia abajo y a su izquierda al revés. En caso de que la intensidad fuese en la dirección negativa, habría que darle un valor negativo. Por otra parte, si el cable fuese paralelo al eje x y pasase por y=y0 tendríamos:

Veamos un ejemplo clásico.

Tenemos dos cables paralelos a una distancia de 1,5 m. Uno de ellos tiene una intensidad de 4 A en un sentido, y el otro de 3 A en el contrario. Calcula el campo magnético en el centro entre ambos y la posición en la cual el campo magnético es nulo.

Dado que no nos especifican nada, por comodidad supondremos que los dos cables son paralelos al eje y, que el primero se encuentra sobre x01=0 m y que el segundo se encuentra sobre x02=1,5 m. Además, al primero le asignaremos intensidad positiva y al segundo negativa. El centro entre ambos estará en 0,75 m, con lo cual:

Por otra parte, para calcular la distancia a la cual se anulan exactamente hay que resolver:

Y analicemos también uno de los más rebuscados que pueden entrar.

Tenemos dos cables perpendiculares con intensidades en la dirección y y en la dirección x. La intensidad del primero es el doble que la del segundo. Si ambos se cortan en el origen de coordenadas, calcula:
a) La ecuación que relaciona las coordenadas de los puntos en los cuales el campo magnético es nulo.
b) El campo magnético en el punto (4,4) m si la intensidad en el eje x es de 5 A.

Para resolver el primer apartado procedemos de forma similar al último apartado del ejercicio anterior, fijando x0=0 m para el primer cable e y0=0 m para el segundo:

Para el segundo apartado simplemente sustituimos:

Los problemas relacionados con la ley de Biot y Savart suelen ser de este estilo, con lo que una vez que se les coge el truco se liquidan rápido.

Campo eléctrico creado por un cable.

Por ir confirmando que todo tiene sentido, paremos un momento a confirmar que el campo eléctrico creado por un cable infinito de cargas es perpendicular al campo magnético que produce cuando estas se mueven. Para ello, tendremos que recurrir al flujo eléctrico a través de alguna superficie simétrica que envuelva al cable, como es un cilindro también infinito. Si denominamos λ a la densidad lineal de carga, es decir, a los culombios que hay en cada metro de cable, tenemos en cuenta que en el flujo la integral se puede intercambiar por un producto de módulos, y llamamos h a la altura del cilindro, obtenemos:

La fórmula es muy similar a la del campo magnético, cambiando la intensidad por la densidad lineal de carga, la constante magnética multiplicando por la eléctrica dividiendo, y que la dirección sería la perpendicular al cable.

En general, debido al valor de las constantes el campo eléctrico sería extremadamente mayor al campo magnético (si bien ni siquiera tienen las mismas unidades). No obstante, los cables suelen estar hechos de átomos que tienen la misma cantidad de cargas positivas. Con lo cual, en un cable normal y corriente se produce hacia el exterior tanto campo eléctrico positivo como negativo y el resultado es el mismo que si no hubiese ninguna carga en ese sentido.

El hecho de que los campos eléctrico positivo y negativo del cable se cancelen mutuamente resulta particularmente útil para que el campo magnético pueda hacerse notar sin competencia, ya que de otro modo la electrostática le haría sombra. Es de las pocas situaciones donde hay cargas en movimiento pero a efectos electrostáticos es como si no las hubiera.

Cabe destacar, no obstante, que estos campos no solo suelen ser apantallados por el recubrimiento del cable sino que además son diminutos, con lo que no suponen ningún riesgo para la salud.

Fuerzas entre cables.

La ley de Ampère supuso una revolución en la física, ya que implícitamente establecía una relación matemática clara entre el campo eléctrico y el magnético, pero antes de publicarla como tal encontró una propiedad de los cables muy intrigante. Al colocarse dos cables en paralelo con intensidades circulando por ellos a veces se atraían o se repelían del siguiente modo:

• Si por dos cables paralelos circulan corrientes en el mismo sentido se atraen.
• Si por dos cables paralelos circulan corrientes en sentido opuesto se repelen.

Esta era una observación era muy novedosa, ya que a diferencia de lo que sucedía con los imanes o las cargas eran las corrientes idénticas las que se atraían y no al revés. ¿Pero de dónde surgía esa fuerza? Los dedos no tardaron en apuntar al campo magnético, y es la respuesta que generalmente se explica, pero entonces toda la mecánica clásica de Galileo estaba en peligro.

Si tenemos dos cables paralelos en reposo, ni se atraen ni se repelen porque, aunque ambos tengan cargas, sus campos eléctricos se cancelan tal y como hemos explicado arriba. Sin embargo, si las cargas comienzan a moverse por el cable, aparece una fuerza de atracción o repulsión entre ellos de naturaleza magnética.

Ahora bien, el concepto de qué cuerpo se mueve y qué cuerpo está quieto dependía, a priori, de quién lo observe. Un pasajero dentro de un tren puede percibir que el que está sentado al lado está quieto, por más que los dos sean percibidos en movimiento dentro del tren por alguien que los observe desde fuera de las vías.

En particular, si un observador comienza a correr inmediatamente percibe que todo el resto de las cosas se mueven en el sentido contrario a su velocidad. Y aquí nacía el problema. Un cable con corriente en un sentido puede ser percibido como un cable sin corriente alguna si nos ponemos a correr a su lado con la suficiente velocidad (y el cable es lo suficientemente largo como para que lo sigamos viendo). De modo que el si los cables se atraen o no podría depender únicamente de la velocidad de quien los observe. ¿Tenía esto algún sentido? No en la mecánica clásica, donde las fuerzas definidas a través de una energía potencial jamás dependerían de una velocidad.

Este problema fue resuelto gracias al concepto de éter electromagnético. Los físicos de la época consideraban que existía un sistema cósmico de referencia absoluto con respecto al cual todo se movía en el universo. A partir de esta consideración, la intensidad debería medirse con respecto a dicho éter cósmico, de modo que realmente uno no podría anularla por correr a su lado y no percibirla. La hipótesis en cuestión, por supuesto, era cierta, como se comprobaría a finales del siglo XIX cuando verificaron que sí podría conseguirse esa fuerza dependiente de la velocidad del observador. Pero eso lo veremos en el bloque sobre relatividad.

Ley de Ampère-Maxwell.

Pero atentar contra la mecánica clásica no fue el único problema de los descubrimientos de Ampère, sino que además su ley era irrespetuosa con el teorema de conservación de la carga. No obstante, tuvieron que pasar algunas décadas hasta que el joven James Maxwell detectara esta incompatibilidad y la arreglase. Partamos de la ecuación del rotacional del campo magnético:

Si multiplicamos a ambos lados por la derivada vectorial llegamos a:

El producto mixto de la izquierda se anula, como ya explicamos en su momento, porque dos de sus vectores son el mismo. Y, como conclusión, la ley de Ampère implicaba que el gradiente de la densidad de corriente siempre tendría que ser nulo. Es decir, que para que fuese cierta no podría haber ni manantiales ni sumideros de corriente eléctrica.

El teorema de conservación de la carga, por el contrario, establece que:

Lo cual puede ser escrito, empleando la divergencia del campo eléctrico, como:

Y esto llevó a Maxwell a intuir que la ecuación correcta sería más bien:

Ecuación que se conoce como la ley de Ampère-Maxwell. Una expresión que al integrarla en el área lleva a:

Es decir, la circulación del campo magnético a través de una curva cerrada es igual a la suma de un término proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa dicha curva por dentro y otro proporcional a la derivada del flujo eléctrico en su interior respecto al tiempo.

El último término, el añadido por Maxwell, está relacionado con las variaciones en el tiempo del campo eléctrico, y por ese motivo no pudo ser descubierto por Ampère: en sus experimentos con cables este nunca variaba de forma perceptible en ningún lugar. Fue necesario un físico diestro en matemáticas como Maxwell, quizás el mayor genio del siglo XIX, para darse cuenta de que algo fallaba. Pero de Maxwell hablaremos más en el siguiente bloque.

En el siguiente capítulo hablaremos en su lugar de Michael Faraday, el genio que inspiró a Maxwell, y cómo sus intuiciones permitieron desarrollar los motores de inducción presentes a casi toda la tecnología actual.

ACTIVIDADES RECOMENDADAS
1. Tenemos dos cables paralelos separados a una distancia de 7 m. Por el primero circula una intensidad de 2 A. Sabiendo que en el punto intermedio la componente vertical del campo magnético es de 10^-7 T, calcula la intensidad del segundo cable, indicando si es opuesta o paralela a la del primero.
2. En el segundo ejemplo visto con los cables perpendiculares, haz un esquema indicando, en los cuatro cuadrantes que generan, en qué regiones el campo magnético sube y el campo magnético baja debido a las contribuciones de ambos.