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Estudiar Física de Bachillerato (22): La ley de Faraday

4. TEORÍA DE CAMPOS TRIDIMENSIONAL

4.1. El producto vectorial
4.2. Las integrales de longitud, área y volumen
4.3. La circulación
4.4. El flujo
4.5. El campo magnético
4.6. La ley de Ampère
4.7. La ley de Faraday

Campos.

Al comienzo del estudio de la naturaleza, el objetivo siempre fue analizar los sistemas materiales y su evolución. Todas las teorías que se iban desarrollando hablaban de sistemas concretos y objetos concretos. Arquímedes hablaba de fluidos que existían, Kepler estableció sus leyes acerca de planetas que existían, e incluso Newton o Franklin se centraron en el estudio de aquello que sabíamos que existe. Sin embargo, los descubrimientos de Ampère, combinados con el desarrollo de la mecánica de Hamilton y algunos otros aportes, propiciaron en el siglo XIX un importante cambio de perspectiva.

Hasta la ley de Ampère las alusiones a campos físicos, bien fueran el gravitatorio, el eléctrico o el magnético, se concebían como constructos matemáticos irreales que formaban parte del modelo matemático necesario para trabajar.

Sin embargo, al descubrirse que los campos eléctricos podían provocar la aparición de campos magnéticos esto estaba destinado a cambiar. Michael Faraday, un talentoso físico procedente de familia humilde y sin conocimientos matemáticos, trabajaba en talleres desarrollando su curiosidad por el electromagnetismo. Él se imaginaba los campos como algo real susceptible de ser analizado del mismo modo que la materia, y sus ideas acabarían inspirando posteriormente a James Maxwell para unificar todo el electromagnetismo a mediados del siglo XIX.

Entre sus diversos experimentos, Faraday observó que al colocar tiras metálicas magnéticas alrededor de un hilo con corriente, estas se colocaban describiendo un círculo a su alrededor, tal y como se sabía desde Oersted. También comprobó que al colocar materiales cargados los materiales ionizados (con carga eléctrica total no nula) se alineaban siguiendo la dirección que debería tener el campo eléctrico.

Además, descubrió que existían materiales conductores, los cuales impedían la existencia de campos eléctricos en su interior recolocando sus cargas internas de forma pertinente. Los conductores son, en general, metales, y esta observación llevó a Faraday a verificar que si se encerraba una carga dentro de un recinto metálico y se intentaba mover desde fuera con un campo eléctrico, esta permanecía inalterada. Desde entonces, llamamos jaula de Faraday a cualquier recinto rodeado de metal que proteja de campos externos y, en particular, rayos y descargas. El recubrimiento metálico de los coches es, en realidad, protección contra golpes y descargas eléctricas externas. Y el microondas, con sus envoltorios metálicos, aísla el interior de todo tipo de campos. Por ese motivo, que un teléfono suene dentro del microondas estando este cerrado es señal de que no está bien montado. Esta tendencia de los metales a reflejar señales electromagnéticas y no dejarlas pasar los convierte también en excelentes materiales para fabricar espejos.

Pero regresando al tema que nos ocupa, Faraday estaba ante todo convencido de que el campo eléctrico y el magnético podían existir e interactuar entre ellos del mismo modo que dos cuerpos cualesquiera interactúan en el espacio.

Inducción electromagnética.

Para Faraday estaba claro: si los campos eléctricos podían producir campos eléctricos, los campos eléctricos tenían que ser capaces de producir magnetismo. Pensar en la forma de demostrarlo no le llevó mucho tiempo, y sentó las bases de los motores eléctricos.

En su experimento clave, Faraday hizo uso de solenoides metálicos. Un solenoide es un cable que ha sido doblado para adquirir forma circular y que además puede contar con un cierto número N de vueltas. En nuestros modelos, supondremos que el cable del solenoide es extremadamente estrecho y las vueltas están tan apretadas entre ellas que parecen un único círculo.

Al circular una corriente eléctrica por el solenoide, como ya sabemos, se produce un campo magnético que pasa por su interior y sale por el exterior envolviéndolo. Dicho campo magnético, en función de la intensidad y de la longitud L total del solenoide es:

Campo Magnético Solenoide.PNG

Este tipo de campos magnéticos, procedentes de cargas en movimiento circular, está relacionado con el campo magnético terrestre, el cual nos da a entender que en su interior existen un montón de imanes (cuyas cargas interiores rotan produciendo el efecto).

Ahora bien, ¿qué sucedería si teniendo un solenoide sin corriente le aproximásemos un imán? Pues Faraday descubrió que se producía una corriente, y que dicha corriente tenía asociada una variación de potencial o fuerza electromotriz que se oponía a la derivada del flujo magnético que ejercía el imán sobre el interior de la espira. Así, la ley de Farady o ley de inducción nos dice que la circulación eléctrica es opuesta a la derivada temporal del flujo magnético. Algo que podemos representar del siguiente modo:

Faraday 1.PNG

Aplicando los cambios habituales, esta ley lleva a una ecuación del rotacional del campo eléctrico que hacen que deje de ser un campo conservativo:

Faraday 2.PNG

Y este hecho es muy relevante, porque nos aclara la diferencia entre el campo electrostático y el eléctrico. En un campo electrostático las cargas están quietas, no hay magnetismo y todo es conservativo. Sin embargo, cuando las cargas se mueven producen campo magnético, y las variaciones de este hacen que el campo eléctrico o electrodinámico deje de ser conservativo.

Al trabajar con espiras con varias vueltas, la primera ecuación puede ser convenientemente reemplazada por otra en términos del flujo sobre una de las vueltas:

Faraday Espira.PNG

Veamos un ejemplo:

Un campo magnético comienza a entrar por el centro de una espira siguiendo la ecuación B=0,03*t en unidades SI. Si el radio de la espira es de 0,8 m y tiene 17 vueltas, calcula la fuerza electromotriz inducida.

a) Dado que el campo magnético atraviesa la espira de forma perpendicular a su sección, la integral de flujo es intercambiable por un producto de módulos con el signo negativo, ya que el campo magnético entra y el vector área sale del solenoide:

Solución 1.PNG

Y veamos otro problema más rebuscado:

Una espira cuadrada se mueve en la dirección x con una velocidad v=(0’2,0,0) m/s.  La espira tiene un lado de 0,6 m, siendo dos de sus lados paralelos al eje x y los otros paralelos al eje y. Al atravesar la región del espacio entre x1=1 m y x2=2 m, la espira está sometida a un campo magnético prácticamente vertical y constante de la forma B=(0,0,1) T. Si denominamos x a la posición que tiene la parte delantera de la espira en el sentido de movimiento, calcula la fuerza electromotriz inducida sobre la espira en el intervalo entre x=0 m y x= 3 m. Dibuja además el sentido de las corrientes inducidas sobre la espira en cada tramo.

Tramo 1 (desde x=0 m hasta x=1 m): Ningún trozo de la espira está dentro de la región con campo magnético, con lo cual no hay flujo ni fuerza electromotriz.

Tramo 2 (desde x=1 m hasta x=1,6 m): El flujo magnético va aumentando a medida que la espira va entrando por completo dentro de la región con campo. El área de la espira afectada será la diferencia entre x y x1, multiplicada por la altura h de la espira:

Solución 2.PNG

Tramo 3 (desde x=1,6 m hasta x=2 m): Mientras toda la espira está dentro de la región con campo magnético, el flujo se mantiene constante y por tanto no hay fuerza electromotriz.

Tramo 4 (desde x=2 m hasta 2,6 m): Mientras la espira sale, la fuerza electromotriz es exactamente opuesta a cuando entraba:

Solución 3.PNG

Tramo 5 (desde x=2,6 m hasta x=3 m: Cuando la espira está completamente fuera de nuevo, deja de haber flujo magnético y por tanto también fuerza electromotriz.

Para dibujar las intensidades, tenemos que tener en cuenta que el campo magnético que generaría debe oponerse al que aparece sobre la espira. Así las cosas, cuando la espira entra el campo magnético va hacia arriba, y la espira intenta oponerse creando otro hacia abajo. Eso requiere, como vimos ya en el capítulo anterior, de corrientes en sentido horario. Al salir, por el contrario, irán en sentido horario. En la siguiente imagen se muestran las corrientes cuando la espira entra y sale de la región con campo.

Esquema.PNG

Después de que Faraday popularizase su descubrimiento, el físico Heinrich Lenz razonó que la corriente sobre la espira siempre tendría que tener el sentido tal que el campo magnético que produjese fuese exactamente opuesto al que procedía de fuera, de modo que la corriente se sustentase instantáneamente en la destrucción del campo magnético intruso.

Una cuestión muy importante acerca del fenómeno de la inducción es que las corrientes son instantáneas, y nunca duran más que el tiempo durante el cual el flujo magnético sobre la espira varía. Cuando el campo magnético nuevo se ha estabilizado, la corriente inducida desaparece.

Por este motivo, los dispositivos basados en producir corriente a base de alejar y acercar un imán a un solenoide (gran parte de ellos) recurren a movimientos periódicos que estén constantemente creando corrientes inducidas.

La gran unificación.

Faraday cerró, con su descubrimiento, todas las propiedades del electromagnetismo, el cual quedó definido a la perfección según cuatro leyes:

  • Ley de Gauss: el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada en su interior.
  • Ley de ausencia de monopolos magnéticos: el flujo magnético a través de una superficie cerrada siempre es nulo ya que tiene que salir tanto campo magnético como entre al no existir polos aislados.
  • Ley de Faraday: la circulación eléctrica a través de una curva cerrada es opuesta a la derivada temporal del flujo magnético en su interior.
  • Ley de Ampère-Maxwell: la circulación magnética a través de una curva cerrada es la suma de dos términos, uno proporcional a la densidad de corriente, y otro a la derivada temporal del flujo eléctrico en su interior.

A continuación se exponen las cuatro leyes en su versión integral:

Ecuaciones Maxwell Integrales.PNG

Y, para concluir, en su versión diferencial:

Ecuaciones Maxwell Diferenciales.PNG

Aquí hemos introducido en realidad, eso sí, un anacronismo, pues la ley de Ampère-Maxwell fue corregida por Maxwell unos treinta años después de que Faraday estableciese la suya. Al conjunto de todas estas ecuaciones, en su versión diferencial, se las denomina las cuatro ecuaciones de Maxwell.

Y la teoría de campos en tres dimensiones que explicaremos concluye aquí. Si los últimos capítulos han resultado relativamente cómodos ha sido únicamente porque explicamos previamente todos los conceptos de circulación y flujo, y es importante tener claro que de haber tenido que explicar todo de golpe, a la vez que se presenta el campo magnético, habría sido muy contraproducente.

En el próximo bloque, acerca de la luz y las ondas, veremos cómo Maxwell empleó la potencia conjunta de todas estas ecuaciones para mostrar al mundo que la luz es, en esencia, campo electromagnético en movimiento. Una idea que no habría podido sustentarse nunca de no ser por los importantísimos descubrimientos de Ampère y Faraday.

ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. Una espira de 60 m de longitud produce un campo magnético de 9 T cuando circula por ella una intensidad de 6 A. Calcula su número de vueltas.

2. Una espira circular de radio 0,4 m es atravesada por un campo de la forma B=0,1*t^2. Calcula en función del tiempo:
a) El flujo magnético que la atraviesa.
b) La fuerza electromotriz inducida.
Dibuja el sentido de la corriente inducida.

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