Las transformaciones cinemáticas del campo electromagnético y el papel secundario del campo magnético.

Lorentz

Hendrik Lorentz

El campo electromagnético fue el principal desencadenante de que se acabase desarrollando la teoría de la relatividad. El principal motivo es que al contrario de las otras teorías existentes de la física del siglo XIX como la gravitatoria no era nada respetuoso con el principio de relatividad de Galileo, según el cual cuando un observador modifica su velocidad esta no afecta a las fuerzas que intervienen en el sistema observado.

Cuando observamos una carga en reposo, esta genera un campo electrostático con efectos perfectamente con la mecánica clásica. Sin embargo, cuando la observamos con una cierta velocidad, bien sea porque esta se está moviendo o porque pasamos a movernos nosotros con respecto a la misma, aparecen efectos no triviales. Dichos efectos son conocidos como magnetismo. La palabra que describía una “nueva” interacción de la naturaleza.

Sin embargo, la formulación relativista del electromagnetismo no tiene ninguna piedad con el campo magnético y lo explica como un efecto cinemático del campo eléctrico generado por cargas en movimiento. En efecto, tal vez si la teoría de la relatividad se hubiese desarrollado antes del descubrimiento de los efectos magnéticos nunca se habría introducido esa nomenclatura para los mismos.

En esta entrada exploraremos este enfoque del electromagnetismo, según el cual todo son distintas percepciones de campos eléctricos fundamentales.

Cabe destacar, no obstante, que si finalmente los monopolos magnéticos de los que ya hablaremos resultasen existir, el campo eléctrico y el magnético estarían en pie de igualdad y el segundo no sería simplemente un efecto colateral del primero.

Transformaciones del cuadripotencial y el campo electromagnético y sus propiedades:

El cuadripotencial A, el campo eléctrico E, el magnético B y el electromagnético F venían dados por las siguientes expresiones:

Campos

Aquí cabe destacar que solo A y F son tensores espacio-tiempo. Esto implica que son los únicos a los que se les pueden aplicar transformaciones relativistas.

.-La transformación de Lorentz:

Como vimos en la entrada sobre relatividad especial, cuando un observador observa un cuerpo seguir una trayectoria dada por la cuadriposición X, si otro observador observa a este moverse con una velocidad v en el sentido positivo del eje x, podemos obtener la cuadriposición del cuerpo X’ respecto a este segundo observador aplicando una transformación de Lorentz L a la del primero:

Transformación Lorentz

Es posible, por otra parte, obtener X a partir de X’ utilizando la transformación de Lorentz inversa:

Transformación Lorentz inversa

Esto es lo que sucede con los campos vectoriales expresados en base covariante. El cuadripotencial, expresado en base contravariante, funciona al revés, usando la transformación inversa para el primer cambio y la usual para deshacerlo:

Transformación cuadripotencial

Las derivadas parciales, por su parte, se transforman también como el cuadripotencial:

Transformación derivadas

Teniendo esto en cuenta, es fácil demostrar que la transformación de Lorentz deja invariantes las componentes del campo eléctrico y magnético paralelas a la velocidad (las componentes x):

Componentes paralelas

Las componentes trasversales, sin embargo, se ven modificadas irremediablemente, como podemos verificar en el caso del eje y:

Componentes trasversales

Cabe destacar que esta es una actuación muy particular de las transformaciones de Lorentz. Normalmente alteran longitudes en la dirección de movimiento. Pero el campo electromagnético (y otros casos) son las componentes trasversales las que se ven alteradas.

Podemos verificar que estos resultados para los campos eléctrico y magnético se pueden reproducir transformando el campo electromagnético como un tensor con dos índices covariantes:

Transformación campo electromagnético 1

Técnicamente la última matriz no habría que trasponerla de no ser porque hemos escrito el campo electromagnético, que debería ser una matriz de filas x filas, lo representamos como una matriz de filas x columnas. En cualquier caso, como la transformación de Lorentz es simétrica es igual a su traspuesta, como hemos aplicado.

Desarrollando esto a lo bruto se reproducen las transformaciones anteriores para las componentes de los campos: las paralelas al eje x se quedan como estaban y las otras se alteran:

Transformación campo electromagnético 2

Usando letra negrita para referirnos a los vectores de los campos eléctrico y magnético, y usando el símbolo de paralelo para referirnos a componentes paralelas a la velocidad y perpendicular para las perpendiculares, podemos resumir cómo se altera todo del siguiente modo:

Transformación componentes

Y teniendo en cuenta esto podemos demostrar que la transformación de Lorentz preserva el producto escalar entre el campo eléctrico y el magnético:

Invarianza del producto escalar

Este resultado no parece obvio a partir de las expresiones de transformación, por eso es importante recalcarlo.

Transformación del campo de una carga en reposo cuando esta es percibida en movimiento:

Supongamos que tenemos una carga q quieta en el origen de coordenadas. Podemos, aplicando la ley de Coulomb, asignarle unos potenciales electromagnéticos φ A de la forma:

Potencial carga reposo

Asimismo, podemos asignarle un campo magnético B nul0 y un campo electrostático E tales que:

Campos carga reposo

Al no tener la carga en reposo campo magnético asociado, resulta evidente que tanto el producto escalar entre este y el eléctrico como el vector de Poynting S son nulos:

Productos escalar y vectorial

Por otra parte, la cuadrifuerza que ejerce esta carga sobre otra Q toma la forma:

Cuadrifuerza carga reposo

Esto es más o menos todo lo que se puede decir sobre los efectos electromagnéticos de una carga quieta. Veamos ahora qué sucede si un observador externo la percibe con una cierta velocidad v.

.-Aplicando la transformación de Lorentz:

Lo primero que tenemos que tener en cuenta al aplicar la transformación de Lorentz a los campos y potenciales es que el observador de la carga que los percibe los ve un cierto tiempo retardado t’ equivalente a la distancia r’ que, en su sistema de coordenadas, tienen que recorrer hasta él a la velocidad de la luz:

Tiempo de retardo

Después, lo primero que observamos es que el potencial φ, si bien mantiene la misma apariencia inofensiva, pasa de estar dividido por r a estar dividido por s:

Potencial carga en movimiento

Siendo s:

Parámetro s

Analicemos esto en detalle. El potencial sigue estando dividido por la distancia del punto que lo percibe a la carga, r’, pero aparece un término extra con forma de producto escalar y efectos sorprendentes. Dicho término es despreciable si la velocidad es no relativista, pero si esta se aproxima a la de la luz obtenemos que el potencial eléctrico percibido en la dirección hacia la que se mueve la carga tiende a infinito por tender s a anularse (recordemos que en unidades naturales la velocidad de la luz es 1). En las direcciones perpendiculares a la del movimiento de la carga, sin embargo, no se percibe casi nada raro. Tenemos, en suma, un efecto Doppler relativista del potencial.

En segundo lugar, percibimos que donde antes no había potencial vectorial A ahora ha aparecido. Paralelo a la velocidad y con el mismo efecto Doppler manifiesto en el denominador:

Potencial vectorial relativo

En tercer lugar, percibimos que el campo eléctrico se ve deformado por un factor de relativista γ:

Campo eléctrico relativo

En cuarto lugar, resulta que donde antes solo veíamos campo eléctrico, un observador según el cual la carga está en movimiento pasa a tener además un campo magnético. Un efecto netamente debido a la velocidad relativa del observador y que no tiene mayor motivación:

Campo magnético relativo

Como cabe esperar, por otra parte, el campo magnético resultando es perpendicular al eléctrico, primero porque depende de él mediante un producto vectorial, y segundo porque se tiene que conservar el producto escalar nulo entre ambos.

En quinto lugar, aparece junto al campo magnético un vector de Poynting no nulo en la dirección perpendicular a R, con lo que la carga en movimiento uniforme es incapaz de radiar nada al no tener componentes de Poynting perpendiculares a la esfera que la envuelve:

Poynting relativo

En sexto y último lugar, podemos percibir que la nueva cuadrifuerza tiene componente temporal, lo que implica que el campo eléctrico deformado ahora realiza un trabajo instantáneo sobre la carga Q que lo padezca con una velocidad v. Por otra parte, en la primera parte de la igualdad se percibe claramente que las componentes trasversales se mantienen iguales, y que el campo magnético y la fuerza de Lorentz no son más que un apaño que es necesario para el observador para poder reconstruir toda la fuerza pese a que el campo eléctrico se haya modificado:

Cuadrifuerza relativa

Conclusiones:

Teniendo una carga en reposo simplemente percibimos un campo eléctrico. Cuando la carga se empieza a mover, las matemáticas relativistas conllevan una variación del campo eléctrico, y como en las direcciones trasversales no debería de variar el observador móvil va a percibir además un campo magnético que arregle el problema. Es muy importante tener claro que se puede decir que el campo magnético es un apaño para corregir las modificaciones del eléctrico.

Teniendo en cuenta que según las ecuaciones de Maxwell el campo magnético es producido o por cargas en movimiento o por variaciones del campo eléctrico, en suma podemos decir que siempre que percibimos magnetismo estamos observando un campo eléctrico en un sistema de referencia que no es aquel en el que las cargas que lo producen están en reposo. Pero mucho cuidado: no tiene por qué ser posible en cualquier sistema observar todas las cargas en reposo. De hecho en general no lo es. Por eso en general percibimos efectos magnéticos.

El hecho de que no se conozcan fuentes de campo magnético, más conocidas como monopolos magnéticos, dejan a dicho campo en un estado de clara inferioridad frente al eléctrico, siendo un apaño del mismo.

Muchas teorías predicen la existencia de monopolos magnéticos, y Dirac dijo que sería muy razonable que existiesen porque implicarían que la carga eléctrica estaría cuantizada (como ya comentaremos). Existan o no, no comparto la opinión de que sin ellos el electomagnetismo es feo por la asimetría entre campo eléctrico y magnético. No pasaría nada porque el segundo sea un recurso anticuado que se tuvo que introducir en el siglo XIX a falta de una teoría de la relatividad.

Comments
4 Responses to “Las transformaciones cinemáticas del campo electromagnético y el papel secundario del campo magnético.”
  1. Me gusta este artículo, aunque no lo entiendo todo. La formulación tensorial se me hace indigesta …

  2. Esta es la mejor página de física en español.

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