El campo de radiación creado por una carga acelerada.

Emil Wiechert

Emil Wiechert, precursor de la explicación relativista de la radiación debida a cargas aceleradas.

En una de las últimas entradas desarrollamos en detalle cómo se transforma el campo electromagnético cuando dos observadores tienen una velocidad relativa usando la transformaciones de Lorentz. Posteriormente, en la última entrada explicamos que toda esa teoría no era aplicable cuando tratábamos con observadores con una aceleración relativa, y que en ese caso se hacía necesario trabajar considerando cálculo de derivadas sin un soporte matricial que facilitase las cuentas.

Así las cosas, en esta entrada obtendremos el campo electromagnético creado por una carga que es observada con aceleración, apreciando que a diferencia de la que se mueve con velocidad uniforme esta sí puede radiar energía. Posteriormente, comentaremos las paradojas y problemas conceptuales que esto involucra, aunque un análisis detallado del asunto vendrá más adelante.

Potenciales de Liénard-Wiechert:

En la entrada sobre transformaciones del campo electromagnético observamos que cuando dos observadores tienen una velocidad relativa v sus potenciales escalar φ y vectorial A tomaban la forma:

Potenciales transformados

Estos potenciales se conocen como los potenciales de Liénard-Wiechert, que inicialmente los obtuvieron sin emplear relatividad especial por consideraciones puramente cinemáticas de propagación del campo y tiempos retardados.

En las expresiones indicadas k es proporcional a la carga y s viene dado por:

s y r

Y aquí, a su vez, r’ es el vector de posición donde se mide el campo en el sistema de referencia del observador. Su módulo (sin negrita) representa la distancia del punto de medición a la fuente del campo y, si tenemos en cuenta unidades naturales y que el campo se propaga a la velocidad de la luz, es equivalente a la diferencia de tiempos entre ambos observadores.

Teniendo los potenciales, los campos eléctrico E y B observados se obtienen mediante las relaciones:

Campos transformados

Y en esta ocasión solo podemos calcularlos así, ya que las transformaciones de Lorentz de derivadas de los potenciales dejan de ser accesibles cuando hay aceleración relativa entre el sistema puntualmente inercial respecto a la carga y el que observa.

Relaciones matemáticas necesarias:

En realidad la expresión de arriba es suficiente para definir el campo electromagnético, pero aquí buscamos una expresión concreta para el mismo que es la que se suele enseñar. No obstante, para llegar hasta ella tendremos que usar unos cuantos trucos matemáticos que razonaremos en esta sección.

En primer lugar, aplicando la regla de la cadena y posteriormente la del producto, llegamos a que la derivada de v/s respecto al tiempo de observador es:

Derivada v s tiempo observador

Aquí a es la aceleración respecto al sistema localmente inercial con la carga.

Por otra parte, descomponiendo el gradiente en parte temporal y parte espacial, el gradiente de 1/s se puede reescribir como:

Gradiente inversa s

Teniendo esto, antes de seguir haciendo modificaciones conviene recalcar que el gradiente del tiempo de observador respecto al observador es nulo, que el gradiente de la posición es el vector de posición entre su módulo y que el gradiente del producto escalar entre v y r’ es igual a v. Todas estas relaciones se demuestran directamente sin problema:

Gradientes

Consideremos ahora la expresión:

Módulo cuadrado r'

Derivando en ambos lados respecto al tiempo de carga obtenemos la derivada del módulo de r’ respecto al mismo:

Derivada r' tiempo carga

Aplicando este resultado, podemos obtener la derivada respecto al tiempo de observador empleando la regla de la cadena:

Derivada r' tiempo observador 1

Sin embargo, esta no es la única forma de obtenerla. También podemos usar la definición vista arriba en función de los tiempos, que daría como resultado:

Derivada r' tiempo observador 2

Y teniendo en cuenta que las dos últimas ecuaciones hablan de lo mismo, podemos igualarlas y despejar la derivada del tiempo de carga respecto al tiempo de observador:

Derivada tiempos

Vayamos ahora con la derivada de s respecto al tiempo de carga. Aplicando lo visto podemos demostrar por sustitución que:

Derivada s tiempo carga

Consideremos ahora el gradiente del módul de r’ por dos métodos como antes: la regla de la cadena y el uso de su definición según los tiempos:

Gradiente r'

En esta ocasión, despejando podemos obtener el gradiente del tiempo de carga:

Gradiente tiempo carga

Definamos ahora el vector R:

Vector R

Y, usándolo, podemos decir que el gradiente de s a tiempo fijo es:

Gradiente s

Concluyendo así nuestra pequeña aventura matemática para poder proseguir.

Campo eléctrico producido con aceleración:

En primer lugar, la derivada temporal del potencial vectorial A toma está relacionada con:

Derivada temporal A

En segundo lugar, el gradiente del potencial escalar φ está relacionado con:

Gradiente phi

Así pues, el campo eléctrico observado es:

Campo eléctrico 1

¿Hemos acabado? No. Aún se puede retocar un poco más si tenemos en cuenta que:

Doble vectorial

Con lo que el campo eléctrico se puede escribir de la forma:

Campo eléctrico 2

Vemos claramente que al campo eléctrico usual con velocidad uniforme E0 se le suma otro campo Erad que depende netamente de la aceleración. Si no hay aceleración no hay campo de radiación.

Cabe destacar que el campo eléctrico de radiación no es necesariamente perpendicular al campo base, pese a que estemos haciendo esta descomposición.

Campo magnético producido por aceleración:

En esta ocasión, en lugar de calcularlo explícitamente lo relacionaremos con el campo eléctrico teniendo en cuenta la relación entre el gradiente en el sistema observador y el sistema carga y que en el sistema carga el rotacional de la velocidad es nulo:

Relaciones campo magnético

A partir de aquí, el campo magnético es de la forma:

Campo magnético 1

Y teniendo esta expresión, podemos verificar que el campo magnético se corresponde con el producto vectorial de r’ y E, siendo por tanto perpendicular a ambos:

Campo magnético 2

Esta relación es útil para obviar el uso de B directamente en cuentas posteriores.

Vector de Poynting producido por aceleración:

Cuando los dos observadores se diferenciaban por una velocidad uniforme obtuvimos que el vector de Poynting era perpendicular al vector R y por tanto no se producía radiación. En esta ocasión veremos que debido al campo de radiación evidentemente sí se produce (motivo por el que se llama así).

En primer lugar, podemos observar que el vector de Poynting S es:

Poynting

Podemos desarrollar cada uno de los términos en función de los campos base y de radiación:

Desarrollo términos

Y reescribiendo:

Poynting 2

Para ver qué parte del vector de Poynting implica radiación real de la carga acelerada podemos multiplicarlo escalarmente por R y ver qué términos no se anulan:

Componentes de radiación

Obtenemos así como resultado que la parte radiante del vector de Poynting depende totalmente del campo de radiación y que si este no está presente no se radia nada. Por otra parte, cabe esperar que el término del producto escalar entre E0 y Erad sea despreciable, con lo que podemos decir que el vector de Poynting radiante es aproximadamente:

Poynting radiante

Que es la expresión que se suele emplear.

Observaciones relativistas:

La carga no se percibe a sí misma en movimiento, como sucede siempre con un cuerpo observándose a sí mismo. Sin embargo, el observador externo planteado sí percibe que la carga se mueve con una aceleración y, a su vez, radiación. Así las cosas, un observador en principio no percibiría nada raro y el otro percibiría la emisión de fotones.

Sin embargo, el principio de relatividad exige que las leyes de la física sean las mismas para dos observadores cualesquiera, con lo que… ¿se emite o no se emite radiación? Obviamente sabemos que la respuesta es que sí, pero la carga acelerada tendrá que percibir algo.

Hace un tiempo escribí una entrada explicando por qué carece de sentido decir que se puede suponer que la Tierra está quieta razonando la posible colisión de un cometa con la misma. Supongamos que tenemos un modelo geocéntrico como el de Tycho Brahe donde suponemos que el Sol y la Luna giran alrededor de la Tierra, el resto de planetas alrededor del Sol y el resto del universo alrededor de la Tierra, todos ellos con un periodo de 24 horas más o menos. En principio, se podría argumentar que las leyes de la física serían las mismas. Sin embargo, si un cometa colisiona contra la Tierra en ese modelo desviándola desde el punto de vista externo percibiríamos que todo el universo da un salto en la dirección opuesta desde la perspectiva geocéntrica. Y eso no hay ninguna ley física que lo justifique, con lo que deberíamos concluir que la Tierra no está en reposo y no es un sistema de referencia adecuado.

Análogamente, en la entrada anterior explicamos que los cuerpos acelerados observan cosas incoherentes si suponen que están quietos. Por tanto, la carga acelerada no observaría tal vez nada “salvo un empujón de TODO el resto del universo no justificado en dirección contraria a su aceleración”, y ello tendría que llevarla (en caso de que fuese un observador humano y pudiese percibir dicho empujón) a la conclusión de que no está en reposo.

Los conceptos aquí empleados son tan fundamentales como la propia relatividad general, en la que se establece un sistema de referencia absoluto (el vacío) para definir qué cuerpos se mueven y cuáles están en reposo. La paradoja radiativa que hemos planteado aquí sería uno de los motivos, junto a la paradoja de los gemelos, por los que es necesario definir dicho sistema de referencia.

Comments
5 Responses to “El campo de radiación creado por una carga acelerada.”
  1. Fran dice:

    Hola,

    Quería preguntarte cómo se relacionaría el resultado del vector de Poynting Srad con el caso de la energía radiada por un electrón en movimiento circular uniforme a gran velocidad (aceleración centrípeta) como en el caso de un sincrotrón. Sé que en estos casos el electrón radía luz en dirección tangencial a su movimiento, pero no se identificar esto con el resultado final de esta entrada. No acabo de entender tampoco el significado físico de los vectores s, r’ y R.

    Un saludo,

  2. Fran dice:

    Genial! La espero con ganas. Me están gustando mucho estas entradas sobre Electromagnetismo y Relatividad. También tengo mucho interés sobre las que comentaste que vendrían después de Electrodinámica Cuántica.

  3. jose manuel dice:

    Hola Adrian. Soy un ingeniero jubilado apasionado de la física. En primer lugar quiero agradecerte los buenos ratos que me haces pasar estudiando en tu blog. Hace tiempo que trato de encontrar algun libro o blog sobre fisica experimental sobre todo acerca de los primeros experimentos sobre cuantica, ondas, relatividad, etc. En todos los libros se citan experimentos en el que los montajes se representan de forma esquematica pero a mi me gustaria conocer algo mas real con dibujos o fotos, dimensiones, resultados, aparatos de medida, etc.
    ¿Conoces algún libro que trate todo esto? O tambien ¿Porque no escribes algo sobre ello de vez en cuando?
    Muchas gracias
    jose manuel

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